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Théorie des Modèles et Groupes

Horaires : Le mardi 28 février 2017, 16h

Lieu : Sophie Germain, salle 1016

Expansions minimales de (Z,+,0)

Christian d'Elbée (Lyon 1)

Cet exposé essayera de donner une vision d'ensemble des différentes choses connu à ce jour sur les expansions du groupes des entiers (Z,+,0) avec un accent sur les expansions dp-minimales. En particulier les deux structures (Z,+,0,<) et (Z,+,0,|_p) sont des expansions strictes de (Z,+,0) (avec x|_p y si et seulement si v_p(x) ? v_p(y)). Si (Z,+,0,...) est un réduit de (Z,+,0,<) qui est une expansion stricte de (Z,+,0), alors (Z,+,0,...) définit l'ordre <. Le même phénomène apparaît pour l'expansion (Z,+,0,|_p). Dans ce sens, ce sont des expansions minimales de (Z,+,0). G. Conant a montré dans l'article [1] que (Z,+,0,<) est une expansion minimale de (Z,+,0). On propose une autre preuve du théorème de Conant ainsi qu'une preuve que (Z,+,0,|_p) est une expansion minimale. On sait que (Z,+,0) n'a pas d'expansions stables dp-minimales ([2]). Comme (Z,+,0,<) et (Z,+,0,|_p) sont dp-minimales il suffit d'étudier les réduits instables. De plus quitte à travailler dans un modèle saturé, on pourra réduire l'étude des ensembles définissables à ceux de dimension 1. Le résultat de Conant se déduira rapidement par cette approche, en revanche le résultat concernant (Z,+,0,|_p) nécessite une bonne compréhension de l'arithmétique des ensembles définissable dans cette structure. Les nouveaux résultats présenté sont en commun avec E. Alouf. [1] G. Conant. There are no intermediate structures between the group of integers and Presburger arithmetic. May 2016. Available at https://arxiv.org/pdf/1603.00454.pdf. [2] G. Conant, A. Pillay. Stable groups and expansions of (Z, +, 0). January 2016. Available at https://arxiv.org/ pdf/1601.05692.pdf.

 

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