EnglishFrançais

DMA Web Site

Bannière DMA Site de l'ENS Site Paris Sciences et Lettres Site du CNRS Accueil

Time: Friday, February 10, 2012, 17h30-18h30

Location: salle W

Torsion conjecture for abelian schemes over a curve

Anna Cadoret (Ecole polytechnique - Personal website)

La conjecture de torsion prédit que si k est un corps de nombre et A une variété abélienne sur k alors l'ordre du sous-groupe de torsion de A(k) est borné par une constante ne dépendant que du degré de k sur Q et de la dimension de A. Cette conjecture n'est connue que pour les courbes elliptiques: Manin l'a montré en 69 pour les l-Sylow de la torsion (l:premier) puis Mazur (77), Kamienny (92), Merel (96) ont réussi a compléter la preuve en analysant la structure des courbes modulaires X_{0}(l) (l:premier). Que les courbes elliptiques soient (essentiellement) classifiées par un schéma elliptique sur P1 moins trois points intervient de façon cruciale à plusieurs endroit de la preuve. Avec Akio Tamagawa, nous nous intéressons à un énoncé intermédiaire entre la conjecture de torsion générale et le cas des courbes elliptiques: on considère une *courbe* S sur k, un schéma abélien A sur S et on essaye de montrer que l'ordre du sous-groupe de torsion de A_s(k(s)) est borné par une constante ne dépendant que du degré du corps résiduel k(s) en s sur Q (et de A). Comme dans le cas des courbes elliptiques, on peut scinder le pb en deux parties: à l premier fixé, borner uniformément (par une constante dépendant de l) l'ordre des l-sylow de la torsion et, pour l décrivant l'ensemble des nombres premiers, borner uniformément (par une constante indépendante de l) l'ordre de la l-torsion . J'expliquerai d'abord comment la théorie du groupe fondamental étale permet de reformuler le problème en termes de points rationnels sur certains revêtements étales S_n de la courbe de base S (les analogues des courbes modulaires Y_1(n)). L'étape suivante est de nature géométrique et consiste à montrer que la gonalité ou, au moins, le genre, des courbe S_n tend vers l'infini avec n. On se pose le pb en toute caractéristique. Je décrirai brièvement comment résoudre ce pb pour les courbes S_l^n (l: premier fixé, n:entier) grâce, notamment, à des techniques de géométrie l-adique. Je détaillerai ensuite un peu plus le pb pour les courbes S_l (l: premier variant) et essaierai notamment d'expliquer comment certaines techniques introduites par Nori pour étudier les sous-groupes des groupes linéaires sur F_l peuvent se substituer aux techniques de géométrie l-adique pour montrer que le genre des courbes S_l tend vers l'infini avec l.

 

Other sessions of this seminar


45 rue d'Ulm - F 75230 PARIS cedex 05 | phone : (33) 1 44 32 20 49 | fax : (33) 1 44 32 20 69

Site Map | Legal notice | | Website editor | Web site designed under SPIP