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À partir de la rentrée 2017, le DMA propose des cours de M2 originaux. Pour 2017-18 : Olivier Debarre, Anna Erschler, Timothy Gowers, Gabriel Peyré et Vincent Vargas

Olivier Debarre (Paris-Diderot, ENS) - Les surfaces K3

Résumé : La géométrie algébrique est l’étude des ensembles définis des équations polynomiales à plusieurs variables à coefficients dans un corps, appelés variétés affines. On considère aussi les sous-ensembles des espaces projectifs définis par des équations polynomiales homogènes, de façon à obtenir des objets « compacts », les variétés projectives. Dès qu’on a défini les concepts de dimension et de lissité, on peut entamer un travail de classification (à isomorphisme près) des variétés projectives lisses connexes de dimension donnée, sur un corps fixé qui sera pour nous le corps des complexes. En dimension 1, on appelle ces variétés des courbes et un élément essentiel de leur classification est leur genre, un entier positif. Dès la dimension 2, la classification demande plus de travail mais est maintenant bien comprise depuis des décennies.

Nous nous intéressons dans ce cours à un type de surfaces bien particulier, appelées surfaces K3 (ainsi nommées par André Weil « à cause de Kummer, Kähler, Kodaira et de la belle montagne K2 au Cachemire »). Elles occupent une place bien particulière dans la classification : assez spéciales pour qu’on puisse les décrire précisément (classification de Mukai en petits degrés), mais suffisamment diverses pour garder suffisamment de propriétés (géométriques, dynamiques, arithmétiques) importantes pas encore toutes élucidées. Travailler sur le corps des nombres complexes nous permettra d’utiliser les outils de la géométrie complexe, comme la théorie de Hodge et l’application des périodes, qui sont fondamentaux pour l’étude des surfaces K3.

Une certain familiarité avec les concepts de base de la géométrie algébrique ou complexe sera nécessaire mais je m’adapterai à l’auditoire. Les surfaces K3 seront le fil conducteur du cours mais j’en profiterai bien entendu pour introduire les divers outils classiques utilisés dans l’étude des surfaces algébriques. Enfin, ce cours constituera une introduction au cours qui sera donné par Claire Voisin au Collège de France sur les variétés hyperkählériennes, une généralisation des surfaces K3 en toute dimension paire.

Références :

Barth, Wolf ; Hulek, Klaus ; Peters, Chris ; Van de Ven, Antonius ; Compact complex surfaces, Second edition, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 4, Springer-Verlag, Berlin, 2004.

Beauville, Arnaud, Surfaces algébriques complexes, Astérisque 54, Société Mathématique de France, Paris, 1978.

Beauville, Arnaud, Complex algebraic surfaces, translated from the French by R. Barlow, N. I. Shepherd-Barron and M. Reid, London Mathematical Society Lecture Note Series 68, Cambridge University Press, Cambridge, 1983.

Beauville, Arnaud, Surfaces K3, séminaire Bourbaki, 217–229, Astérisque 105-106, Société Mathématique de France, Paris, 1983.

Géométrie des surfaces K3 : modules et périodes, séminaire Palaiseau, octobre 1981–janvier 1982, Astérisque 126, Société Mathématique de France, Paris, 1985.

Huybrechts, Daniel, Lectures on K3 surfaces, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 158, Cambridge University Press, Cambridge, 2016.

Voisin, Claire, Théorie de Hodge et géométrie algébrique complexe, Cours Spécialisés 10, Société Mathématique de France, Paris, 2002.

Voisin, Claire, Hodge theory and complex algebraic geometry. I and II, Translated from the French original by Leila Schneps, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 76 and 77, Cambridge University Press, Cambridge, 2002.

Anna Erschler (CNRS, ENS) - Théorie Géométrique des groupes

Résumé : étant donné une action d’un groupe G sur un espace métrique X, on peut étudier la relation entre les propriétés de G et la métrique de X. Un cas important est la situation où G est un groupe fini et X un graphe de Cayley de G. Quelques observations sont immédiates ou faciles à démontrer : par exemple, si G est un produit direct de deux groupes, alors le graphe de Cayley est un produit direct de deux graphes de Cayley associés ; si G est un produit libre de deux groupes (de cardinalité au moins 2 et 3) alors "l’espace des bouts" de G est infini ; si G possède un sous-groupe libre, alors le graphe de Cayley de G contient un sous-arbre régulier, et sa croissance est exponentielle.
Il est souvent difficile de caractériser les propriétés algébriques en termes de la métrique. La preuve de telles caractérisations peut révéler les liens profonds entre l’algèbre et la géométrie. La métrique d’un graphe de Cayley dépend du choix des générateurs de G, mais « pas beaucoup » : les graphes de Cayley de (G,S) et (G,S’) sont « quasi-isométriques ». Un groupe est rigide par rapport aux quasi-isométries si chaque groupe qui est quasi-isométrique à G est commensurable avec G. Une propriété P de groupes est géométrique si chaque groupe qui est quasi-isométrique à un groupe avec la propriété P satisfait aussi cette propriété. Par exemple, on peut démontrer, en utilisant un théorème de Stallings, que les groupes libres sont rigides. C’est un corollaire du théorème de Gromov sur la croissance polynomiale que la propriété d’être nilpotent est géométrique et que les groupes abéliens sont rigides par rapport aux quasi-isométries. Par contre, il y a des propriétés qui ne sont pas géométriques . Par exemple, la construction de Burger et Mozes montre qu’un groupe simple peut être quasi-isométrique à un produit direct de deux groupes libres. Pour d’autres propriétés de groupes, même très basiques, les questions de la géométricité et de la rigidité restent ouvertes. Par exemple, il n’est pas connu si chaque groupe nilpotent est rigide.
Nous allons étudier des invariants quasi-isométriques des groupes : la croissance, l’isopérimétrie, l’hyperbolicité, ainsi que des propriétés asymptotiques de diverses classes de groupes : de groupes nilpotents, de groupes résolubles, de groupes agissants sur des arbres, de groupes à petite simplification et de groupes hyperboliques.

Timothy Gowers (Cambridge, FSMP, PSL) - Introduction à la combinatoire additive
Résumé : Additive Combinatorics is a branch of mathematics with roots in combinatorics, additive number theory, harmonic analysis, and ergodic theory. This course will cover some of the most important results in the area, such as Roth’s theorem on arithmetic progressions, Szemeredi’s regularity lemma, and Ruzsa’s proof of Freiman’s theorem. However, the emphasis will be more on the techniques of proof than on the results themselves.

Gabriel Peyré (CNRS, ENS) - Méthodes mathématiques pour la science des données
Résumé : ce cours présente un tour d’horizon de méthodes mathématiques et numériques pour la science des données, avec des applications en imagerie, apprentissage statistique, vision par ordinateurs et informatique graphique. La présentation du cours alterne entre l’exposition de la théorie et l’implémentation sur machine des algorithmes. Les aspects théoriques couvrent le calcul des variations, l’analyse convexe, les problèmes inverses et le transport optimal. Ces eléments théoriques seront présentes conjointement à leurs applications a des problèmes tels que la super-résolution en imagerie médicale, la classification en apprentissage supervisé, et l’échantillonnage compressé pour la conversion analogique-numérique des signaux. La validation se fera par un mini-projet (avec lecture d’un article, tests numériques et un rapport), ainsi qu’un examen écrit. Le support pour les parties numériques et informatiques du cours est ce site, qui présente des implémentations Matlab/Python/Julia des méthodes numériques.

Vincent Vargas (CNRS, ENS) - Théorie conforme des champs de Liouville
Résumé : la théorie conforme des champs de Liouville fut introduite en physique par Polyakov en 1981 dans sa théorie de sommation des métriques sur une surface de Riemann (appelée aussi corde bosonique). La théorie de Liouville peut donc être vue comme une version aléatoire de la théorie des surfaces de Riemann. Dans la littérature physique, la théorie est définie de façon formelle par un analogue 2d de l’intégrale de chemin à la Feynman. Le but de ce cours est de donner une construction probabiliste rigoureuse de la théorie en s’appuyant sur la théorie du champ libre gaussien (Gaussian Free Field, i.e. GFF) et de l’exponentiel du GFF appelé chaos multiplicatif gaussien (d’après J.P. Kahane). On montrera que la théorie possède certaines symétries qui en font une théorie conforme (Conformal Field Theory, i.e. CFT). On énoncera également des conjectures très précises reliant la théorie à la limite d’échelle des grandes cartes planaires (vu comme des surfaces de Riemann).


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