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Accueil du site > Présentation > Historique : Les normaliens Médailles Fields (4)

Historique

2002 : Laurent Lafforgue

Laurent Lafforgue est entré au CNRS en 1990 comme Chargé de Recherche au Laboratoire de Mathématiques d’Orsay. Il y a travaillé au sein de l’équipe "Arithmétique et Géométrie Algébrique". En 1994, il a soutenu sa thèse sur les "D-chtoucas de Drinfeld" sous la direction de Gérard Laumon. En Octobre 2000, il est promu Directeur de Recherche et un mois plus tard, il a rejoint l’Institut des Hautes Études Scientifiques (IHÉS) à Bures-sur-Yvette comme professeur permanent. Ensuite, Laurent Lafforgue a poursuivi ses recherches sur le même sujet, et en juillet 2000 il achevait sa démonstration d’une conjecture rattachée à la "correspondance de Langlands" sur les corps de fonctions. En 1967, le mathématicien canadien Robert P. Langlands alors en poste à l’Université de Yale aux Etats-Unis, écrivit une lettre manuscrite de 17 pages à André Weil, dans laquelle il y présentait un certain nombre d’hypothèses et d’idées profondes, qui esquissaient des liens étroits et surprenant entre des classes d’objets mathématiques de natures différentes. Laurent Lafforgue a prouvé la correspondance de Langlands (pour tout n) pour les "corps de fonctions rationnelles sur une courbe définie sur un corps fini". Sa démonstration dans la publication intitulée "Chtoucas de Drinfeld et correspondance de Langlands pour GLr sur les corps de fonctions" occupe 240 pages de la revue professionnelle Inventiones mathematica, à quoi il faut ajouter les nombreux et volumineux travaux déjà publiés sur lesquels elle s’appuie. L’importance de son travail est reconnue par l’attribution de la médaille Fields le 20 août 2002 à Pékin.

2006 : Wendelin Werner

Wendelin Werner, professeur à l’université de Paris-Sud (Orsay) et à l’École normale Supérieure est l’un des quatre lauréats de la médaille Fields 2006, remise le 22 août à Madrid lors de l’ouverture du 25ème Congrès International des Mathématiciens. Ancien élève de l’École normale supérieure (1987-1991), Wendelin Werner a soutenu sa thèse en 1993 sous la direction de Jean-Francois Le Gall, professeur à l’ENS et à l’université Paris 6. Dès sa sortie de l’ENS, il est nommé chargé de recherches au CNRS. Après un séjour à Cambridge, il est affecté de 1995 à 1997 au Département de mathématiques et applications de l’ENS (Unité Mixte de Recherche du CNRS, UMR8553), avant d’être nommé professeur à l’université Paris-Sud. Sa médaille récompense des travaux très novateurs, alliant probabilités et analyse complexe : développés en collaboration avec G. Lawler et O. Schramm, ils portent principalement sur la géométrie du mouvement brownien de dimension 2 et l’équation de Loewner stochastique, et ont conduit à des applications remarquables en physique théorique (théorie des champs conformes). Avec Wendelin Werner, la Médaille Fields distingue pour la première fois un spécialiste de la théorie des probabilités. Ses travaux se placent en fait à l’interface entre cette théorie et la physique statistique. Le fait que les modèles étudiés possèdent des propriétés asymptotiques d’invariance conforme conduit aussi à l’utilisation d’outils sophistiqués d’analyse complexe. Un exemple simple mais significatif des résultats de Wendelin Werner est fourni par l’étude de la probabilité de non-intersection de deux marches aléatoires planes. Considérons une particule qui se déplace de manière aléatoire sur le réseau des points du plan à coordonnées entières, selon les règles suivantes : à l’instant initial la particule se trouve à l’origine puis, à chaque instant entier strictement positif, elle saute en l’un des quatre plus proches voisins du point occupé précédemment, avec la même probabilité 1/4 pour chacune des possibilités, indépendamment du passé. Par définition, la trajectoire de la particule entre les instants 0 et n est l’ensemble des points qu’elle visite entre ces deux instants. Considérons aussi une seconde particule qui se déplace selon les mêmes règles, indépendamment de la première. On s’intéresse alors à la probabilité que l’origine soit le seul point commun aux trajectoires des deux particules entre les instants 0 et n. On savait depuis assez longtemps que cette probabilité se comporte comme (une constante fois) n à la puissance -a quand n est grand. La valeur exacte de l’exposant a = 5/8, conjecturée par les physiciens théoriciens Duplantier et Kwon en 1988, n’a pu être calculée rigoureusement que grâce aux travaux récents de Wendelin Werner et de ses collaborateurs Gregory Lawler et Oded Schramm. De manière inattendue, ce calcul a nécessité l’introduction de nouveaux processus aléatoires, les évolutions stochastiques de Loewner ou SLE en anglais : la définition du processus SLE consiste à introduire dans l’équation de Loewner (outil classique d’analyse complexe datant des années 1920) une fonction directrice aléatoire donnée par le mouvement brownien linéaire. Le calcul rigoureux des exposants d’intersection de marches aléatoires ou de mouvement browniens, généralisant l’exemple ci-dessus, a aussi permis d’établir une ancienne conjecture de B. Mandelbrot concernant la dimension de la frontière extérieure d’une courbe brownienne plane, qui était l’un des problèmes ouverts les plus fascinants de la théorie des probabilités : de manière précise, la dimension de Hausdorff de la frontière de la composante connexe non bornée du complémentaire d’une courbe brownienne plane (prise sur l’intervalle de temps [0,1] pour fixer les idées) est égale à 4/3. Mais, si le comité Fields a décidé cette année de récompenser Wendelin Werner, c’est avant tout parce que les processus SLE ont beaucoup d’autres applications spectaculaires à différents modèles de physique statistique, comme la percolation, les marches aléatoires auto-évitantes ou modèles de polymères, ou encore les arbres couvrants sur un réseau. Le développement de telles applications, par Wendelin Werner et ses collaborateurs, a constitué un pas de géant dans la compréhension mathématique de ces modèles.

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