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Accueil du site > Présentation > Historique : Les normaliens Médailles Fields (5)

Historique

2010 : Ngô Bảo Châu

D’origine vietnamienne, Ngô Bảo Châu arrive en France au début des années 1990. Il rejoint peu après l’École normale supérieure sur le « troisième concours » pour étudiants français et étrangers, avant de préparer une thèse qu’il soutiendra en 1997. Comme Laurent Lafforgue avant lui, c’est sous la direction de Gérard Laumon qu’il commence à travailler dans ce vaste champ de recherche actuellement très dynamique qu’est le programme de Langlands. Après l’Université Paris-Nord, l’Université Paris-Sud à Orsay et l’Institute for Advanced Study à Princeton, l’Université de Chicago profite aujourd’hui de la présence de Ngô Bảo Châu en ses lieux. Les travaux qui lui ont valu la réception de la médaille Fields à Hyderâbâd, en Inde, le 19 août 2010, portent sur la démonstration du Lemme fondamental. Si ce type d’énoncé apparaît pour la première fois en 1979 dans un article de Jean-Pierre Labesse et Robert Langlands, ce n’est que dans les années 1980 que Robert Langlands et Diana Shelstad formulent précisément une conjecture qui gardera le nom de Lemme fondamental. Selon les dires de Ngô Bảo Châu, le Lemme fondamental est une identité entre deux intégrales sur deux groupes différents et qui retranscrit une forte nature arithmétique dans la formule des traces d’Arthur-Selberg ([1]). S’il était à l’origine pensé pour être résolu par une preuve technique mais directe (d’où son nom), le Lemme fondamental a nécessité l’appel à la géométrie à travers une fibration introduite par Nigel Hitchin quelques vingt années plus tôt pour étudier un tout autre problème. Rien de plus normal dès lors que ce véritable tour de force mettant en lumière toute la clairvoyance de Ngô Bảo Châu suscite l’admiration de ses collègues, dont Robert Kottwitz ([2]), éminent professeur à l’Université de Chicago et spécialiste du domaine, notamment pour ses avancées dans la stabilisation de la formule des traces. Outre les noms déjà cités, il faut aussi rajouter ceux de Jean-Loup Waldspurger ou encore de Raf Cluckers et François Loeser qui ont contribué à rendre cette approche géométrique possible. À noter qu’une première avancée importante avait été faite par Gérard Laumon et Ngô Bảo Châu avec le cas des groupes unitaires, ce qui leur a valu le prix Clay en 2004. Ngô Bảo Châu possède la double nationalité française et vietnamienne. À ce titre, il montre un profond attachement à la France, tout en ne comptant pas son énergie pour favoriser le développement de la recherche scientifique au Vietnam, en particulier par la création récente du « Vietnam Institute of Advanced Studies in Mathematics ». [1] : « The Fundamental Lemma is basically an identity between two numbers, each of them defined by a complicated integral. This identity is deeply rooted in the arithmetic of the Arthur-Selberg trace formula. (...) [I] came to understand that the key to a solution may be a geometric model for the trace formula. » (Ngô Bảo Châu, paru dans une interview par Neal Koblitz). [2] : « Professor Ngô found the right point of view that only looks natural with hindsight » (Robert Kottwitz).

2010 : Cédric Villani

Cédric Villani est admis à l’École Normale Supérieure de Paris en 1992 après des études au lycée Louis-le-Grand. Il prolonge la formation mathématique qu’il y reçoit par une thèse à l’Université Paris-Dauphine sur les équations aux dérivées partielles de la théorie cinétique. On notera durant cette période l’influence décisive de son tuteur à l’ENS, Yann Brenier, puis de son directeur de thèse, Pierre-Louis Lions, autre médaillé Fields (1994) et ancien élève de l’ENS. Ses travaux couronnés par la médaille Fields à l’été 2010 ont été effectués alors qu’il était professeur à l’École Normale Supérieure de Lyon (2000-2010). Cédric Villani a rapidement abordé la recherche dans d’autres branches des mathématiques, en transport optimal, probabilités, géométrie, et dans le domaine des équations de transport non-linéaires hamiltoniennes. Il impressionne alors par sa capacité à créer de nouveaux liens, synthétiser les connaissances dans des livres appréciés, et surmonter les frontières entre domaines distincts. Plusieurs séjours scientifiques de longue durée joueront un rôle clef, au Georgia Institute of Technology (Atlanta), ainsi qu’aux universités de Berkeley et Princeton. Ses recherches montrent une grande diversité dans les outils utilisés. Ils sont cependant unis par le fil rouge de la notion d’entropie et, son corollaire, de retour à l’équilibre pour les systèmes de particules. Les travaux de Cédric Villani cités pour la médaille Fields concernent plus particulièrement l’étude des équations aux dérivées partielles. Il s’agit tout d’abord chronologiquement de la « convergence vers l’équilibre pour l’équation de Boltzmann », en collaboration avec Laurent Desvillettes (2005). Ce travail concerne la vitesse à laquelle se produit le retour à l’équilibre dans un gaz, à partir de l’étude de l’équation non-linéaire dite de Boltzmann. Cette dernière est irréversible mais pourtant la production d’entropie s’annule pour de nombreux équilibres locaux mais non globaux. Ce travail montre mathématiquement comment les dérivées en temps successives de cette production d’entropie permettent de saisir et de quantifier la façon dont les mécanismes de transport se combinent aux mécanismes de collision pour empêcher l’« arrêt » sur un équilibre local mais non global. Cette intuition physique et géométrique fondamentale du problème suscitera de nouveaux résultats d’analyse fonctionnelle et marquera la naissance de la théorie de l’ « hypocoercitivité », pendant de la théorie de l’hypoellipticité de Hörmander pour ce qui concerne le retour à l’équilibre. L’autre résultat cité est un travail concernant « l’amortissement Landau non-linéaire », en collaboration avec Clément Mouhot (2011). L’objet d’étude est un phénomène de relaxation non collisionnel proposé par le physicien Landau en 1946 en physique des plasmas : le retour à un équilibre homogène, et donc à la neutralité électrique pour des perturbations petites. Ce même phénomène a également ensuite été proposé pour les « gaz d’étoiles » constituant les galaxies, et interagissant à travers les forces gravitationnelles. Ces deux situations sont décrites mathématiquement par l’équation dite de Vlasov-Poisson. La difficulté pour comprendre et confirmer ce phénomène au niveau non-linéaire est le fait que l’équation de Vlasov-Poisson est réversible. Le travail cité démontre pourtant l’effet d’amortissement Landau au niveau non-linéaire (pour des perturbations petites) et clarifie le sens de cette amortissement « à entropie constante » du point de vue mathématique. Il révèle des liens surprenants avec la théorie KAM en théorie des systèmes dynamiques, le mélange de phase, et le phénomène d’écho plasma découvert expérimentalement en 1967. Après son retour de Princeton en 2009, Cédric Villani a décidé de poursuivre sa carrière en France. Il est maintenant professeur à l’Université Lyon 1 et directeur de l’Institut Henri Poincaré ou il consacre son temps à la recherche, à l’animation scientifique, et au rôle d’“ambassadeur” des mathématiques auprès des grands médias.

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