Thierry Coquand : Herbrand et le programme de Hilbert

L'énoncé du "théorème fondamental" d'Herbrand peut apparaitre comme une formulation compliquée du théorème de complétude déjà implicite dans les travaux antérieurs de Lowenheim et Skolem. Il est toutefois très naturel d'un point de vue constructif, et dans le cadre du programme de Hilbert (qui est par exemple très bien décrit par Hermann Weyl, 1926). Après avoir expliqué ce point de vue, je vais décrire l'impact de ce résultat et de ce programme en mathématiques constructives et en informatique théorique.

 

 

Ulrich Kohlenbach : Herbrand's theorem and extractive proof theory

J. Herbrand's fundamental theorem on the extractability of the finitary combinatorial core of proofs in logic and open theories is one of the most central results in mathematical logic. In the course of G. Kreisel's program of 'unwinding of proofs' (starting in the 50's) the significance of this theorem and its modern extensions (such as Kreisel's no-counterexample interpretation and K. Goedel's functional interpretation) to analyze given proofs in mathematics was stressed.
Since then, this program has been developed more systematically into an area now called 'Proof Mining'. Most recently, important special cases of the underlying logical concepts re-appeared in core mathematics itself in the context of T. Tao's program of finitary ('hard') analysis. We will discuss some of these developments and their connection to Herbrand's work.

 

 

Catherine Goldstein : La place de J. Herbrand dans la théorie des nombres de l'entre-deux-guerres

Dans les années 1930, les mathématiques françaises, en pleine reconstruction, sont dominées par l’analyse. Jacques Herbrand qui s’est déjà distingué en se lançant dans une thèse en logique, se tourne vers la théorie algébrique des nombres lors de son séjour en Allemagne comme boursier Rockefeller. L’exposé, tout en retraçant le parcours personnel de Herbrand, aura pour objectif de situer ses résultats au sein des recherches arithmétiques et algébriques de son époque.

 

 

Kenneth A. Ribet : Modular constructions of unramified extensions and their relation with a theorem of Herbrand

I plan to speak about the method that I introduced in my 1976 article "A modular construction of unramified p-extension of Q (mu_p)," whose title is recalled by the title of my lecture. After obtaining the results in that article, I learned from colleagues that I had proved the converse of a 1932 theorem of Herbrand. Serge Lang introduced the description "Herbrand--Ribet theorem" for the concatenation of our results; I am deeply honored to have my name joined with Herbrand's. In my lecture, I will explain the theorem and a bit about its proof. I hope to continue by describing briefly how my method was adapted by Wiles, Mazur and Tilouine and how it is being used in new contexts in current research.