---

Walter CRAIG (McMaster University et Universite de Paris 7)

Les équations aux dérivées partielles Hamiltoniennes, et les équations des ondes à la surface de l'eau

Les lundis 8, 15 et 22 février 2010 à 17h30 salle W (3 cours d'une heure 20 minutes)



Résumé:

1. EDP Hamiltoniennes
i) un premier exemple: l'équation des ondes
ii) définition générale
iii) la conservation d'énergie
iv) exemples supplementaires - l'équation de Schroedinger nonlinéaire (NLS)
- l'équation de Korteweg deVries (KdV)
- les systèmes de Boussinesq
- les ondes à la surface de l'eau
v) lois de conservations, et crochets de Poisson

2. Recurrence versus dispersion
i) cas compact - solutions périodiques, quasi-périodiques et presque périodiques
ii) cas non-compact
iii) structures cohérentes - solitons

3. Theorie de transformations
i) le Lagrangien, et la transformation de Legendre
ii) transformations canoniques et formes symplectiques
iii) transformations élementaires
iv) dérivations, à partir des ondes à la surface de l'eau - Boussinesq - KdV - NLS

4. Formes normales
i) analyse de l'operateur Dirichlet - Neumann
ii) la formule de variation de Hadamard
iii) résonances
iv) la forme normale de Birkhoff pour N = 3
v) les formes normales de Birkhoff de plus haut ordre, et une vision d'integrabilité

Bibliographie:

Ablowitz, M. & Segur, H., Solitons and the inverse scattering transform (1981)
Alvarez-Samaniego, B. & Lannes, D. Large time existence for 3D water- waves and asymptotics, Invent. Math. 171 (2008)
Craig, W. An existence theory for water waves, and the Boussinesq and Korteweg-deVries scaling limits, Commun. PDE 10, no 8, pp 787-1004 (1985).
Craig, W. Problemes de petits diviseurs dans les equations aux derivees partielles, Panoramas & Syntheses (2000)
Craig, W., Guyenne, P. & Kalisch, H., Hamiltonian long wave expansions for free surfaces and interfaces, Commun. Pure Applied Math. 58 (2005), pp. 1587-1641.
Craig, W. & Sulem, C., Numerical simulation of gravity waves, Journal Comp. Physics 108, pp. 73-83, (1993).
Craig, W., Sulem, P.-L. & Sulem, C. Nonlinear modulation of gravity waves: a rigorous approach, Nonlinearity \5, pp. 497-552, (1992).
John, F., Partial differential equations, Springer (1982).
Kuksin, S., Analysis of Hamiltonian PDE, OUP (2000).
Landau L.D. & Lifschitz, E.M., Mechanics Pergamon (1976).
Moser, J. & Zehnder, E., Notes on dynamical Systems (2005).
Zakharov, V. E., Stability of periodic waves of finite amplitude on the surface of a deep fluid, J Appl. Mech. Tech. Phys. 9, (1968).