Courbes Algébriques

Contacts. Cours : Olivier Benoist. TD : Giuseppe Ancona. Le cours est parallèle au cours Introduction aux schémas affines de Christine Huyghe.

Horaires. La salle C32 est réservée le mercredi de 9h à 12h pour le cours et le mercredi de 15h à 18h pour les TDs. Les horaires réels dépendront fortement de la semaine. L'emploi du temps précis sera indiqué au fur et à mesure ici :

• 6 Septembre : Cours de 9h à 12h. [Ensembles algébriques affines : idéaux, Nullstellensatz, Noethérianité, topologie de Zariski, fonctions régulières, irréductibilité. Espace projectif, ensembles algébriques projectifs.]
• 13 Septembre : TD de 15h à 17h.
• 20 Septembre : TD de 15h à 17h.
• 27 Septembre : Cours de 9h à 12h. [Ensembles algébriques projectifs : idéaux homogènes, Nullstellensatz projectif, (dé)homogénéisation, exemple des courbes planes. Variétés algébriques affines et quasi-affines.]
• 4 Octobre : Cours de 9h à 12h et TD de 15h à 17h. [Variétés algébriques projectives et quasi-projectives, morphismes, voisinages affines. Dimension, courbes.]
• 11 Octobre : Cours de 9h à 12h et TD de 15h à 17h. [Points réguliers et singuliers d'une courbe, critère jacobien pour les courbes planes. Applications rationnelles, cas des courbes.]
• 18 Octobre : Cours de 9h à 12h. [Correspondance entre courbes projectives régulières et corps de fonctions de degré de transcendance 1. Début de la preuve du théorème de désingularisation des courbes: normalisation, produit de variétés.]
• 25 Octobre : TD de 15h à 17h.
• 1er Novembre : VACANCES.
• 8 Novembre : Cours de 9h à 12h et TD de 15h à 17h. [Fin de la preuve du théorème de désingularisation des courbes. Morphismes entre courbes projectives régulières : lien avec la normalisation, ramification, degré, formule du degré.]
• 15 Novembre : Cours de 9h à 12h. [Fin de la preuve de la formule du degré. Courbes hyperelliptiques. Morphismes séparables, finitude de la ramification.]
• 22 Novembre : Cours de 9h à 12h et TD de 15h à 17h. [Multiplicité d'intersection, théorème de Bézout. Formes différentielles, ordre d'annulation en un point, diviseurs, diviseurs principaux et canoniques, genre.]
• 29 Novembre : Cours de 9h à 12h et TD de 15h à 17h. [Formule de Riemann-Hurwitz, genre des courbes hyperelliptiques et des courbes planes. Systèmes linéaires, énoncé du théorème de Riemann-Roch, preuve admise.]
• 6 Décembre : Cours de 9h à 12h. [Classification des courbes de genre 0, 1, 2 et 3.]
• 13 Décembre : TD de 10h à 12h et TD de 15h à 17h.

Bibliographie.

• La source principale du cours est [Fulton, Algebraic curves].
• D'autres introductions aux courbes algébriques sont [Hartshorne, Algebraic geometry, Chapter I] et [Perrin, Géométrie algébrique, une introduction].
• La preuve du théorème de désingularisation des courbes donnée dans le cours n'est pas celle de Fulton, mais procède par normalisation. Des références pour les résultats d'algèbre commutative utilisés sont [Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry] ou [Atiyah MacDonald, Introduction to commutative algebra]. Une courbe affine d'anneau normal est régulière par [Atiyah MacDonald, Proposition 9.2 (ii)=>(iii)]. La finitude de la normalisation est [Eisenbud, Corollary 13.13]. Le lemme de "Going up" est [Eisenbud, Proposition 4.15] ou [Atiyah MacDonald, Theorem 5.10].
• Une preuve de la formule du degré est [Hartshorne, Chapter II, Proposition 6.9]. Dans le cours, le théorème de Bézout est obtenu comme conséquence de la formule du degré.
• On trouve des généralités sur les extensions séparables dans [Lang, Algebra, Chapter V §4].
• Une preuve du théorème de Riemann-Roch se trouve dans [Serre, Groupes algébriques et corps de classes, Chapitre II].

Examen. L'examen aura lieu le 8 janvier en salle C32 de 14h30 à 18h30.