[1] P. Biane, Minimal factorizations of a cycle and central multiplicative functions on the infinite symmetric group , Journal of Combinatorial Theory, Series A, 76, 197-212 (1996)

   Je calcule le nombre de façons de factoriser une permutation circulaire en produit de permutations circulaires de longueurs données. J'en déduis une nouvelle démonstration d'un résultat récent de Nica et Speicher.

[2] P. Biane, Free hypercontractivity, Communications in Mathematical Physics, 184, 457-474 (1997)

   J'établis l'inégalité d'hypercontractivité optimale pour le foncteur gaussien libre (c'est la même que dans les cas bosonique et fermionique).

[3] P. Biane, Processes with free increments , Mathematische Zeitschrift 227, 143-174 (1998)

   J'étudie les processus à accroissements libres, en particulier j'établis une propriété de Markov de ces processus et je calcule explicitement les probabilités de transition associées.

[4] P. Biane, Representations of symmetric groups and free probability , Advances in Mathematics 138, 126-181 (1998)

   Je donne le comportement asymptotique des caractères du groupe symétrique de grande taille, lorsque le diagramme d'Young associé, renormalisé pour avoir une aire égale à 1, a une forme limite. J'en déduis le comportement des opérations classiques (du type Littlewood-Richardson) dans ce régime asymptotique.

[5] P. Biane and R. Speicher , Stochastic calculus with respect to free Brownian motion and analysis on Wigner space, Probability Theory and related Fields 112, 373--410 (1998)

  On étudie l'intégrale stochastique par rapport au mouvement Brownien libre. En particulier, on établit une inégalité du type Burkholder-Gundy, valable pour la norme d'opérateurs, en contraste avec les inégalités classiques qui ne marchent que dans les espaces Lp avec p fini.

[6] H. Bercovici and V. Pata, Stable laws and domains of attraction in free probability theory, with an appendix by P. Biane on the density of free stable distributions, Annals of Mathematics, 149, 1023-1060 (1999)

  L'article établit l'analogue en probabilités libres de la théorie des lois limites pour l'addition des variables aléatoires indépendantes. L'appendice est consacré à une description explicite de la densité des lois stables libres.

[7] P. Biane, Approximate factorization and concentration for characters of symmetric groups. Inter. Math. Res. Notices, No 4, 179-192 (2001).

   Dans ``Representations of symmetric groups and free probability'' (cf ci-dessus) j'avais établi une propriété de factorisation asymptotique pour les caractères des groupes symétriques de grande taille. Ici je démontre une réciproque : si une fonction de type positif normalisée sur le groupe symétrique se factorise approximativement sur les permutations à supports disjoints, alors la mesure correspondante sur les diagrammes d'Young est concentrée autour d'une forme particulière. Je donne une application de ce résultat au calcul de la forme limite, en probabilités, des diagrammes d'Young apparaissant dans les représentations tensorielles du groupe symétrique.

[8] P. Biane and R. Speicher , Free diffusions, free entropy and free Fisher information ``Ann. Inst. H. Poincaré, Probabilités et statistiques'', Vol 25, No 5, 581--601 (2001).

  La suite de l'article à PTRF. On utilise le calcul stochastique libre pour étudier les diffusions libres.

[9] P. Biane, J. Pitman et M. Yor, Probability laws related to the Jacobi theta and Riemann zeta functions, and Brownian excursions , Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 38 (2001), no. 4, 435--465.

  C'est un survol des liens entre la fonction zêta de Riemann et les excursions browniennes.

[10] P. Biane et F. Lehner , Computation of some examples of Brown's spectral measure in free probability . Colloq. Math. Vol. 90 No. 2, (2001) 181--211.

  On calcule la mesure de Brown (une sorte de mesure empirique sur le spectre d'un opérateur auto-adjoint dans une algèbre de von Neumann finie munie d'une trace) de différents éléments dans le cadre des probabilité libres. Par exemple on traite le cas de la somme de deux unitaires libres, l'un étant une symétrie et l'autre un unitaire de Haar. Attention, le fichier fait 10 Mo, mais il y a de belles images!

[11] P. Biane et D. Voiculescu, A free probability analogue of the Wasserstein metric on the trace state space Geometric and Functional Analysis, Vol. 11, No 6, (2001) 1125--1138.

   On définit un analogue non-commutatif de la distance de Wasserstein. En dimension un, on utilise une inégalité entre l'entropie libre et l'information de Fisher libre pour montrer que la distance de Wasserstein à la loi du demi-cercle est majorée par une version modifiée de l'entropie libre. C'est une version libre d'une inégalité dûe à Talagrand et généralisée par Otto et Villani.

[12] P. Biane et E. Germain, Actions moyennables et fonctions harmoniques ``Comptes Rendus de l'Académie des Sciences'' Paris, Ser. I, 334 (2002) 355--358.

   On montre que l'action d'un groupe dénombrable discret sur un espace localement compact invariant de fonctions harmoniques minimales est moyennable. On retrouve ainsi la plupart des exemples connus de groupes moyennables à l'infini.

[13] P. Biane , Free cumulants and representations of large symmetric groups Proceedings of the XIIIth International Congress of Mathematical Physics, London, 2000. International Press, 321--326.

   Un survol des résultats obtenus sur les caractères et les représentations du groupe symétrique, au moyen des cumulants libres.

[14] P. Biane , Parking functions of types A and B , Electronic Journal of Combinatorics, Vol 9(1), 2002.

   Répond à une question de R. Stanley sur l' étiquetage des chaînes maximales dans le treillis des partitions non-croisées de type B.

[15]P. Biane , M. Capitaine et A. Guionnet, Large deviation bounds for matrix Brownian motion , Invent. Math. 152 (2003) 2, 433--459.

   On donne des bornes pour les grandes déviations du mouvement Brownien à valeurs dans les matrices hermitiennes, lorsque la dimension tend vers l'infini. On en déduit une inégalité entres les deux versions de l'entropie libre de Voiculescu.

[16] P. Biane , F. Goodman et A. Nica, Non-crossing cumulants of type B, Trans. Amer. Math. Soc. 355 (2003), 2263-2303.

   On étend la description combinatoire de Speicher de la liberté au cas des partitions noncroisées de type B.

[17] P. Biane , Logarithmic Sobolev inequalitites, matrix models and free entropy, Acta Math. Sinica. Vol 19, No3, (2003), 1-11.

   On donne deux applications des inégalités de Sobolev logarithmiques aux modèles matriciels, ainsi qu'une caractérisation des systèmes semi-circulaires par une inégalité de Poincaré.

[18] P. Biane , Characters of symmetric groups and free cumulants , Asymptotic Combinatorics with Applications to Mathematical Physics, A. Vershik (Ed.), Springer Lecture Notes in Mathematics 1815 (2003), 185-200.

   J'étudie les polynômes de Kerov, qui permettent d'exprimer les caractères du groupe symétrique au moyen des cumulants libres d'une mesure de probabilités associée au diagramme d'Young correspondant. En particulier je montre la positivité des termes linéaires de ces polynômes. Kerov a conjecturé que tous les termes sont positifs.

[19] P. Biane , Nombre de factorisations d'un grand cycle. Séminaire Lotharingien de Combinatoire, Vol. 51 (2004).

  On donne une démonstration courte d'une formule de Goupil et Schaeffer qui compte le nombre de factorisations d'un cycle de longueur maximale en produit de deux permutations de classes de conjugaisons données.

[20] J. Bertoin, P. Biane , M. Yor Poissonian exponential functionals, q-series, q-integrals, and the moment problem for log-normal distributions, Progress in Probability, Vol. 58, Dalang R., Dozzi M., Russo F. (Eds.), 45-56 (2004)

  On étudie le problème des moments pour la distribution lognormale, que l'on relie à des formules pour les moments de fonctionnelles exponentielles de processus de Poisson. les calculs font intervenir des identité remarquables en "q-calcul".

[21] P. Biane, P. Bougerol et N. O'Connell, Littelmann paths and Brownian paths , Duke Mathematical Journal. Volume 130, Number 1, (2005) 127--167.

   On introduit des "opérateurs de Pitman" dont on montre qu'ils satisfont les relations de tresse. Cela nous permet de donner une transformation trajectorielle qui transforme un mouvement Brownien ordinaire dans un espace euclidien où opère un groupe de Coxeter (fini) en un mouvement Brownien conditionné à rester dans un cone, domaine fondamental de l'action de ce groupe. Un cas particulier, lorsque le groupe de Coxeter est un groupe symétrique, donne une construction du mouvement des valeurs propres d'une matrice aléatoire hermitienne à coefficients Browniens. En particulier on unifie des résultats récents de Bougerol et Jeulin et de O'Connell et Yor.

[22] Le théorème de Pitman, le groupe quantique SUq(2) et une question de P.A. Meyer. dans Séminaire de Probabilités XXXIX In memoriam Paul-André Meyer, 61--75, Lecture Notes in Math., 1874, Springer, Berlin, 2006.

   Je montre comment le théorème de Pitman sur le mouvement Brownien et le processus de Bessel de dimension 3 est relié au groupe quantique SUq(2). On peut retrouver ce théorème en considérant une marche aléatoire quantique sur le dual du groupe quantique, puis en faisant tendre le paramètre q vers 0.

[23] On the formula of Goulden and Rattan for Kerov polynomials , au Séminaire Lotharingien de Combinatoire, Vol. 55 (2005/06). Art. B55d.

   Les polynômes de Kerov permettent d'exprimer les caractères du groupe symétrique en termes des cumulants libres d'une mesure associée à un diagramme d'Young. Je donne dans cet article une démonstration simple d'une formule explicite pour ces polynômes obtenue par Goulden et Rattan.