Jean-Pierre Ramis
(Université Paul Sabatier - Toulouse III)
Théories de Galois et systèmes dynamiques intégrables
Le problème de l'intégrabilité des systèmes dynamiques issus de la
mécanique (classique) ou de la physique est très ancien et été beaucoup
étudié depuis le XVIII-ème siècle (Euler, Lagrange...), puis le XIX-ème
(J. Liouville, Poincaré, S. Kowalewskaia...). Le cas le plus célèbre est
sans doute le problème des trois corps (et plus géneralement des n corps)
dans le cas du potentiel Newtonien; pour deux corps on a le système de
Képler, aussi célèbre qu'intégrable.
Le problème de l'intégrabilité, surtout sous sa formulation Hamiltonienne
(Liouville-Arnold) reste d'actualité et il y a encore beaucoup de questions
ouvertes, même si, grâce aux techniques que je vais décrire, beaucoup de cas
ont été résolus récemment (problèmes à n corps, satellites,
modèles cosmologiques, problème de Hille ou de la lune, pendules à
ressort...) et plusieurs problèmes classiques ont reçu un éclairage nouveau
(toupies...).
Comme les anciens je ne vais m'intéresser qu'aux systèmes algébriques ou
analytiques réels. Les systèmes hamiltoniens intégrables sont
extrèmement rares. (On peut par analogie penser aux nombres algébriques
parmi les nombres complexes.) Jusqu'à assez récemment tous les spécialistes
semblaient penser qu'il n'y avait pas de critères d'intégrabilité.
L'exposé est consacré à la description d'un tel critère et à un
certain nombre d'applications.
Le point de départ est l'étude du système "en temps complexe" (suivant
la remarquable idée de S. Kovalewskaia) au voisinage d'une solution non
stationnaire. On commence par regarder "le premier ordre", c'est à dire le
linéarisé du système le long de la solution (ou équation variationnelle
de Poincaré), que l'on écrit sous forme de système différentiel
ordinaire (méromorphe). L'outil essentiel est alors une variante de la théorie de
Galois, la théorie de Galois différentielle, plus ou moins rêvée par
E. Galois et mise au point par E. Picard, E. Vessiot, E. Kolchin... L'intervention
de cet outil, peut à première vue paraitre surprenante; elle est en fait
naturelle si l'on pense à l'intermédiaire du groupe de monodromie (Riemann,
Poincaré...), et pour bien d'autres raisons... Le premier critère
d'intégrabilité est du à J. Morales-Ruiz et à l'orateur: si un
système est intégrable, le groupe de Galois différentiel de
toute équation variationnelle est virtuellement abélien. Ce critère,
apparemment fort abstrait et théorique, permet d'obtenir une foule
d'applications et de résoudre de nombreux cas venant de la mécanique, de la
physique, de l'astronomie... (en association avec des techniques de fonctions
spéciales et de calcul formel sur ordinateur).
... Pour les cas qui lui échappent, les mêmes
auteurs, en collaboration avec C. Simèo, ont élaboré une version plus
générale où l'on regarde au voisinage d'une solution "à tous les ordres"
(variationnelles supérieures). Je terminerai l'exposé en donnant quelques
applications terminées ou en cours de ces derniers résultats (systèmes
classiques à potentiels polynomiaux de degré 3, "swinging Atwood machine'').
Une grande partie de l'exposé est prévue pour des "non
spécialistes".