Séminaire
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2005-06
Séminaire
"Variétés rationnelles"
Organisé par l'Université de
Paris-Sud et l'E.N.S.
Responsables
: J.-L. Colliot-Thélène, P. Gille,D. Harari
2006 -
2007
Ecole
Normale Supérieure,
Salle W, 45 rue d'Ulm, 75005 Paris
Horaire
: le vendredi, une fois par mois, à 16h
Vendredi 8 juin
Attention, horaire inhabituel.
14h30-15h30 : Vladimir CHERNOUSOV (Université d'Alberta, Edmonton)
On zero cycles on projective homogeneous varieties.
Dans ce travail en collaboration avec A. Merkurjev, on étudie le groupe de Chow
des variétés projectives homogènes sous un groupe réductif.
16h-17h : Per SALBERGER (Université Chalmers, Göteborg)
Rational points of bounded height and volumes of divisors.
A central problem in Diophantine geometry is to study the asymptotic behaviour of
the number of rational points of bounded height on projective varieties.
One important tool here is the p-adic determinant method of Heath-Brown. Recently
we discovered that there is a more refined version of this method which gives sharper
results for hypersurfaces of low degee. The new version makes essential use of the theory
of volumes of divisors described in Lazarsfeld's book. This leads to difficult problems in
algebraic geometry as there is no analog of Zariski decomposition for varieties of
dimension > 2.
17h30-18h30 : Régis de la Bretèche (Institut Mathématique de Jussieu)
Nouveaux exemples de validité de la conjecture de Manin pour des
surfaces de del Pezzo de degré 4.
Nous exposerons des résultats très récents obtenus en collaboration avec
Tim Browning et Emmanuel Peyre. L'orateur avec Tim Browning a débuté un programme
pour démontrer la conjecture de Manin concernant le nombre asymptotique de points
rationnels de hauteur bornée sur des surfaces V de del Pezzo de degré 4.
En 2005, le cas d'une surface de del Pezzo de degré 4 singulière déployée sur
Q a été résolu, puis celui d'un cas non déployé. Nous présenterons ici le cas d'une famille
de surfaces de del Pezzo de degré 4 toujours singulière mais qui ne vérifie pas forcément
le principe de l'approximation faible. Les méthodes utilisées, inspirées par un travail de
Heath-Brown, sont très différentes de celles utilisées dans les précédents cas.
Vendredi 27 avril
16h-17h: Jean-Pierre TIGNOL (Université de Louvains)
La conjecture II de Serre pour les groupes classiques sur les corps imparfaits.
(En collaboration avec C. Frings et G. Berhuy). En raffinant des techniques
de E. Bayer-Fluckiger et R. Parimala, nous démontrons la version forte
suivante de la conjecture II de Serre. Soit G un groupe semi-simple
simplement connexe classique sans facteurs extérieurs de type A d\'efini sur
un corps F. Si la dimension séparable de F est inférieure ou égale à 2, alors
tout G-torseur est trivial.
17h30-18h30: Nikita KARPENKO (Institut de Mathématiques de Jussieu)
La dimension canonique de PGL_6
Il s'agit d'un travail en commun avec J.-L. Colliot-Thélène et A. S. Merkurjev. Nous
montrons que la dimension canonique du groupe PGL_6 est égale à 3. Ce résultat termine
la classification des groupes algébriques de dimension canonique 2. Le groupe PGL_6
donne le premier exemple d'un groupe algébrique dont la dimension canonique est différente
de sa dimension p-canonique pour tout nombre premier p. C'est aussi la première fois qu'on a
pu déterminer la dimension canonique d'un groupe algébrique ayant plus qu'un seul nombre
premier de torsion.
Vendredi 16 mars
Attention, horaire exceptionnel.
14h30-15h30 : Andrew KRESCH (Universität Zürich et Institut Henri Poincaré)
An effectivity result for Brauer-Manin obstruction.
This is a report on joint work with Yuri Tschinkel, which aims to give an effective
algorithm for the computation of the Brauer-Manin obstruction to the Hasse
principle and to weak approximation. The results obtained are subjects to various
hypotheses, and are applicable in some cases, for instance to geometrically rational
surfaces over number fields.
16h-17h : David HARARI (Université de Paris-Sud)
17h30-18h30 : Jean-Louis COLLIOT-THÉLÈNE (C.N.R.S., Université de Paris-Sud)
Points rationnels sur les sous-variétés des variétés abéliennes sur un corps
de fonctions, d'après B. Poonen et J. F. Voloch.
Soit k un corps global de caractéristique positive. Soit X une courbe de genre au moins 2
plongée dans une k-variété abélienne A. Sous des hypothèses larges sur A (absence de quotient
géométrique isotrivial, et une condition technique supplémentaire), Poonen et Voloch
montrent que l'ensemble des points k-rationnels de X coïncide avec l'intersection dans les
adèles de A des deux ensembles suivants : les points adéliques de X et l'adhérence des points
k-rationnels de A. L'énoncé vaut plus généralement pour une
sous-variété ne contenant pas de translaté de sous-variété abélienne.
Le résultat peut se réinterpréter ainsi : l'ensemble des k-points de X coïncide avec
l'ensemble des points adéliques de X qui sont orthogonaux au groupe de Brauer de X.
Vendredi 9 février
16h-17h
et 17h30-18h30 : Laurent MORET-BAILLY (Université de Rennes 1)
Gerbes, indice et période
(d'après Max Lieblich).
Soit K un corps et soit A dans Br K. On note exp(A)
l'exposant de A (son ordre dans
Br K et ind(A) son indice (le plus petit degré d'une extension
de K qui trivialise A). On sait que
exp(A) divise ind(A) et qu'ils ont les mêmes facteurs premiers;
on conjecture que ind(A) divise
exp(A)^{d-1} si K est un corps C_d.
On suppose maintenant que K est un corps de fonctions de deux variables
sur
un corps k. Alors, d'après A. J. de Jong et M. Lieblich:
- si k est algébriquement clos, alors ind(A)=exp(A).
- si k est fini et exp(A) premier à la caractéristique,
alors ind(A) divise exp(A)^3.
- si k est fini et A non ramifié, alors ind(A)=exp(A) si
l'on suppose de plus exp(A) premier à la caractéristique.
On se propose
d'expliquer, en suivant Lieblich, comment le recours aux gerbes et aux
champs de modules de
fibrés (semi-)stables permet une présentation
géométrique de ces résultats.
Référence : M. Lieblich, Twisted sheaves and the period-index problem, preprint.
Vendredi 19 janvier
16h-17h:
Emmanuel ULLMO
(Université de Paris-Sud)
Principe local-global pour la
représentation de formes quadratiques entières
(d'après
Ellenberg et Venkatesh).
Le but de l'exposé est de présenter le
résultat suivant de J. Ellenberg et A. Venkatesh.
Soit Q une forme quadratique définie positive sur Z^n. Soit Q' une forme quadratique
sur Z^m
avec n-m > 6. Si Q représente Q' partout localement et si le
discriminant de Q' est assez grand,
alors Q représente Q' globalement. Nous expliquerons dans un
premier temps la formulation
du problème en terme de groupes algébriques puis nous
insisterons particulièrement sur les
aspects de théorie ergodique des groupes p-adiques qui sont au
coeur de la preuve.
17h30-18h30
: Lawrence BREEN (Université
de Paris-Nord)
Cohomologie non-abélienne et
cohomologie abélianisée.
Il est possible de munir certains
complexes de groupes tronqués G_* de structures additionnelles
permettant de définir, comme dans le cas où G est un
complexe de groupes abéliens, la cohomologie à valeurs
dans G_*. Dans l'exposé certaines de ces structures seront
décrites ainsi que leurs propriétés, notamment
dans
le cas de la cohomologie non-abélienne et de la cohomologie
abélianisée de Borovoi.
Vendredi 8 décembre
16h-17h:
Jörg BRÜDERN (Universität Stuttgart)
Intersections of two diagonal cubics:
counting points, Hasse's principle and weak approximation.
We study
the pair of equations:
a_1x_1^3 + ... + a_sx_s^3 = b_1x_1^3+...+b_sx_s^3 =0
with integer coefficients a_j,b_j, and address the problems in the
title. Let
N_s(P) denote the number of integral solution with |x_j|<= P. A
lower bound for N_{13}(P) will be
presented that in particular implies the Hasse principle. Weak
approximation also follows, but
only for a subclass. Indeed, examples will be given where weak
approximation fails.
When s>= 15, one may derive an asymptotic formula for N_s(P). These
results were obtained
in collaboration with T.D. Wooley, and are best possible in a certain
sense.
17h30-18h30:
Étienne FOUVRY (Université Paris-Sud)
Sur les corps quadratiques réels avec unité fondamentale de norme -1.
Dans ce travail avec J. Klüners, on donne, pour X
tendant vers l'infini,
le premier encadrement non trivial du cardinal de l'ensemble des D
vérifiant 0<D<X
tels que le corps quadratique Q(\sqrt
{D}) de discriminant fondamental
D ait une unité fondamentale de norme égale à -1.
Vendredi 10 novembre
16h-17h: Anne QUEGUINER-MATHIEU (Université Paris 13)
La restriction au centre de
l'invariant de Rost.
Pour les groupes
semi-simples simplement connexes de type classique, Merkurjev, Parimala
et Tignol
ont donné une formule pour la restriction de l'invariant de Rost
à des torseurs induits du centre du groupe.
Dans ce travail en collaboration avec S. Garibaldi (Emory), on traite
le cas des groupes exceptionnels.
La méthode employée est différente et s'applique
aussi aux cas classiques.
17h30-18h30: Philippe GILLE (ENS, CNRS)
Bornes inférieures pour la
dimension essentielle des groupes réductifs
Dans ce travail en collaboration avec Z. Reichstein (Vancouver), on
donne de nouvelles
bornes inférieures pour la dimension essentielle des groupes
réductifs complexes complétant l'exposé
du 23 juin. La méthode est nouvelle et se passe de la
résolution des singularités, ce qui donne des
résultats partiels
dans le cas de caractéristique positive.
Vendredi 6 octobre
16h-17h : Joost VAN HAMEL (Université de Leuven)
Extended Picard complexes
This is a joint work with M. Borovoi (Tel
Aviv). For a connected linear algebraic group
G over a field k of characteristic 0,
we define the extended Picard complex XPic(G):
a certain complex of length 2, which
combines the Picard group Pic(G)
and the character
group X(G). We compute the complex XPic(G) (up to a quasi-isomorphism) in terms of
the algebraic
fundamental group of G. We obtain similar results for a
homogeneous space X=G/H,
where H is a connected k-subgroup of a connected k-group
G.
17h30-18h30: Jean-Louis
COLLIOT-THÉLÈNE (CNRS, Orsay)
L'obstruction élémentaire pour les espaces
homogènes
Soit X une variété lisse géométriquement intègre définie sur un corps k. Si l'inclusion
de modules galoisiens (k bar)* -> (k bar)(X)*
n'a pas de sections, alors X n'a
pas de k-points. On montre que la réciproque est vraie
si k est un corps p-adique, et X un espace homogène sous un k-groupe connexe
(non nécessairement affine) et à stabilisateurs connexes.
Sur un corps de nombres totalement imaginaire, on a le même
résultat si G est linéaire
ou si l'on accepte la finitude des groupes de Tate-Shafarevitch des
variétés abéliennes.
Sur un corps de nombres qui admet un plongement réél, il
faut imposer des conditions
supplémentaires. (Travail en collaboration avec M. Borovoi et A.
Skorobogatov.)
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