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Séminaire "Variétés rationnelles"

Organisé par l'Université de Paris-Sud et l'E.N.S.
Responsables : J.-L. Colliot-Thélène, P. Gille.


2007 - 2008

 

Ecole Normale Supérieure, Salle W, 45 rue d'Ulm, 75005 Paris 

Horaire : le vendredi, une fois par mois, à 16h

Vendredi 13 juin

16h-17h : Tony VARILLY-ALVARADO (Berkeley)

Zariski density of rational points
on del Pezzo surfaces of degree 1


A theorem of Segre and Manin states that if a del Pezzo surface X over
Q of degree 2 or higher has a rational point that misses
the exceptional curves of X, then the set of rational points on X is
Zariski dense. Del Pezzo surfaces of degree 1 (DP1s) carry a canonical
rational point, but Zariski density of rational points in this case had
remained a mystery. The purpose of this talk is to shed some light on this
problem.
Blowing up the canonical rational point of a DP1 we obtain an elliptic
fibration over the projective line (over Q). Using sieving techniques, we
will show that, for a large class of fibrations corresponding to DP1s,
there is always an infinite family of fibers all of whose members have
negative root number. Assuming finiteness of certain Tate-Shafarevich
groups, this shows Zariski Density of rational points on the corresponding
DP1 surfaces.
If time permits, we will also discuss some surprising fibrations that
correspond to DP1 surfaces, all of whose fibers have positive root number.


17h30-18h30 : Jan DENEF (Université de Leuven)

A geometric proof of a theorem of Ax-Kochen
and a conjecture of
Colliot-Thélène.



We prove a conjecture of Colliot-Thélène which generalizes the Theorem of Ax and Kochen that
any projective hypersurface over the p-adic numbers has a p-adic rational point, if it is given by a
homogeneous polynomial with more variables than the square of its degree d, assuming that p is
large enough with respect to the degree d. The conjecture of Colliot-Thélène generalizes the
Theorem of Ax-Kochen to any family of projective varieties given by a dominant morphism f: X --> Y
of geometrically integral smooth projective varieties over a number field, assuming that the
generic fibre of f is geometrically integral and has "nice" degenerations.
    This yields a geometric proof of the Theorem of Ax-Kochen which (unlike all previous ones)
 does not use methods from mathematical logic. Our proof of the conjecture is based on Cutkosky's
Theorem on Local Monomialization of Morphisms. Actually only part of our proof of the
conjecture, combined with an extra argument, is already sufficient to yield a different geometric
proof of Ax-Kochen's Theorem (still using Cutkosky's result).



Vendredi 16 mai

16h-17h : Tim BROWNING (Université de Bristol)

Points rationnels sur les hypersurfaces cubiques


Etant donné une hypersurface cubique X definie sur Q,la méthode du cercle
fournit un  moyen de montrer qu'il existe un
point Q-rationnel sur l'hypersurface,
si la dimension est suffisamment grande.
Grâce au travail de Davenport, et plus
récemment de Heath-Brown, on
peut traiter des formes cubiques en 14 variables.
Dans cet exposé, on montre qu'on peut
améliorer ceci en 13 variables, pourvu que
la forme puisse s'écrire comme la somme de deux
formes qui ne partagent aucune
variable.



17h30-18h30 : Stefan GILLE (Université de Munich)

The first Suslin homology group of a split
semisimple simply connected group


We compute the first Suslin homology sheaf of a split simply
connected semisimple algebraic group. As a corollary we get a computation of
the first Suslin (singular) homology group of such an algebraic group.



Vendredi 11 avril

16h-17h : Boris KUNYAVSKII (Université de Bar-Ilan, Tel Aviv)

Le multiplicateur de Bogomolov des groupes
finis simples

Etant donné l'espace quotient X=V/G d'une représentation linéaire fidèle complexe V
 d'un groupe fini G, on considère le groupe de Brauer non ramifié de X.
Dans cet exposé, on démontre que cet invariant est nul pour tout groupe fini simple G
 (et encore pour certains groupes pas trop éloignés des groupes simples). Cela établit
 la conjecture de Bogomolov de 1992 dont des cas particuliers de laquelle ont été
 traités par Bogomolov, Maciel et  Petrov en 2004.



17h30-18h30 : Mathieu FLORENCE (IMJ)
Courbes algébriques non isomorphes le devenant
après des extensions de degrés premiers entre eux

Cet exposé rend compte d'un article récent de Goldstein-Guralnick-Howe-Zieve.
Il s'agit de construire un corps K et des courbes algébriques
non-isomorphes C/K et C'/K telles qu'il existe des extensions finies K_i/K
de degrés premiers entre eux sur lesquelles C et C' deviennent isomorphes
après extension des scalaires.





Vendredi 14 mars

16h-17h : Jérémy BLANC (Institut Fourier, Grenoble)

Sous-groupes algébriques du groupe de Crémona

Nous donnons une classification complète des sous-groupes algébriques
maximaux du groupe de Cremona du plan et explicitons les variétés qui
paramètrent les classes de conjugaison.



17h30-18h30 : Daniel FERRAND (Rennes)

Algèbres simples et algèbres de schémas en groupe finis

L'algèbre d'un groupe fini sur un corps K de caractéristique zéro
est un produit d'algèbres simples d'un type très particulier, type
qui a été étudié par Witt et finalement caractérisé par Brauer.
L'usage de schémas en groupes permet de s'affranchir de ces limitations :
nous montrons que toute K-algèbre simple est quotient de l'algèbre d'un schéma
en groupe fini sur K.



Vendredi 22 février

16h-17h : Alexander MERKURJEV (UCLA)
Algebraic tori and 0-cycles

Let T be a torus over a field F and  X   a smooth F-compactification
of T.  Let e be the neutral element in T(F). The map which sends a
point p in T(F) to the zero-cycle p - e induces a set-theoretic map
from the group  T(F)/R of R-equivlalence classes to the reduced Chow
group A
0(X) of zero-cycles of degree zero on X modulo rational
equivalence. This map has long been known to be injective. We discuss
whether it is surjective, and whether it is a group homomorphism.



17h30-18h30 : Bruno KAHN (CNRS, IMJ)
SK2 d'algèbres centrales simples d'indice premier
On associe à toute algèbre centrale simple A sur un corps parfait k un
motif et des groupes de cohomologie motivique. On utilise ceci pour
montrer que la conjecture de Bloch-Kato en poids 3 implique que
SK_2(A) = 0 si l'indice de A est sans facteurs carrés. Ceci est un travail en
collaboration avec Marc Levine.




Vendredi 25 janvier

A noter aussi un exposé d'Ofer Gabber
 (CNRS, IHES) de 14 h à 15 h30: Pseudo-reductive groups.


16h-17h : David HARARI (Orsay)

Le défaut d'approximation forte
pour les groupes algébriques commutatifs

On établit une suite exacte décrivant l'adhérence des points rationnels
d'un 1-motif dans ses points adéliques; on en déduit ensuite que le défaut
d'approximation forte pour un groupe algébrique commutatif est essentiellement
 mesuré par son groupe de Brauer.




17h30-18h30 : Alexander SCHMIDT (Université de Ratisbonne)

Rings of integers of type K(Pi,1)

We investigate the Galois group GS(p) of the maximal p-extension unramified
outside a finite set S of primes of a number field in the case when not all primes
dividing p are in S. We show that the cohomology of
GS(p) is ``often''
isomorphic to the étale cohomology of the scheme Spec(Ok) \ S, in particular,
 GS(p) is then of cohomological dimension 2.


Vendredi 14 décembre


16h-17h : Michel BRION (Institut Fourier, CNRS)
        Groupes algébriques anti-affines.

On dit qu'un groupe algébrique G sur un corps k est anti-affine si son algèbre
des fonctions régulères est k. Nous présentons une classification des ces groupes
avec des applications à la structure des groupes algébriques en caractéristique
positive et la construction de nombreux contre-exemples au quatorzième
problème de Hilbert.

17h30-18h30 : Olivier WITTENBERG  (CNRS, Strasbourg)

            Sous-ensembles diophantiens des corps
            de fonctions de courbes, d'après Kollár
.


Un sous-ensemble E d'un corps K est dit diophantien s'il existe un K-schéma
de type fini X et un morphisme de X vers la droite affine tels que E soit
l'image de X(K). Le but de l'exposé est de démontrer, suivant Kollár, que
k[t] n'est pas un sous-ensemble diophantien de k(t), pour divers corps k de
caractéristique 0 y compris notamment les complexes, les réels, ou les
p-adiques.

Vendredi 23 novembre : Annulée.

 Vendredi 19 octobre 

16h-17h : Nikita SEMENOV (Université de Munich)

Higher Tits indices of linear algebraic groups.


Let G/k be a semisimple group. The set of higher Tits indices of G is  the set of
  Tits indices of G over all fields extensions K/k. In this joint work with V. Petrov,
 we classify higher Tits indices for exceptional algebraic groups. It involves
Chow groups and Chow motives of projective homogeneous varieties.

17h30-18h30 : Cyrille DEMARCHE (Orsay)

Groupes de Brauer d'espaces homogènes à stabilisateurs finis.

Soit k un corps, G un groupe semi-simple simplement connexe sur k. On s'intéresse
aux espaces homogènes de G. Si X  est un espace principal homogène sous G, on
dispose de formules explicites décrivant le groupe de Brauer d'une compactification
lisse de cet espace (résultats dus à Voskresenskii, Sansuc, Colliot-Thélène, Kunyavskii,
et Borovoi, notamment). Dans le cas où le stabilisateur géométrique de l'espace homogène
est connexe ou abélien, on connait également des formules pour ce groupe de Brauer, et
on sait grâce à Borovoi que dans le cas des corps de nombres, l'obstruction de
Brauer-Manin au principe de Hasse ou à l'approximation faible est la seule. En revanche,
très peu de résultats sont connus dans le cas où le stabilisateur est fini non-abélien. On
s'intéressera ici à de tels groupes de Brauer, dans le cas d'un corps de nombres. On regardera
notamment le cas où le stabilisateur est un p-groupe constant d'un certain type, ainsi que
le cas où le corps de base ne contient pas certaines racines de l'unité.




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