Variétés Rationnelles. (Page 1)

Vendredi 12 juin (exceptionnellement salle CAVAILLES, esc. A, premier étage)

16h-17h : Arturo PIANZOLA (Edmonton)

Rigidity of homomorphisms between algebraic groups
(after B. Margaux)

Let G and H be algebraic groups over an algebraically closed field k. The general "rigidity" philosophy
alluded in the title states that the set Hom(G,H) modulo the adjoint action of H, should not change under
a base change K/k with K algebraically closed. When k is of characteristic 0 and G and H are linearly
reductive this is a result of Vinberg.

Margaux's version of this rigidity principle is more general than Vinberg's. The proof is based on the vanishing
of Hochschild cohomology for certain affine group schemes (an interesting result unto itself), and some group
deformation methods introduced by Demazure and Grothendieck.

I plan to state all the main results and give an outline of the proof of the rigidity theorem.

17h30-18h30: Nguyêñ Duy TÂN (Hanoi, Essen)

On the Galois cohomology of unipotent groups
over local and global function fields

In this talk we will give some results on the Galois cohomology of unipotent groups over local and global
function fields. We are interested in finding necessary and/or sufficient conditions on a
unipotent group to ensure the finiteness of its Galois cohomology (joint work with Nguyêñ Quôć Thǎńg).

Vendredi 22 mai

14h30-15h30 : Pierre GUILLOT (Strasbourg)

Méthodes géométriques pour les invariants cohomologiques

Je vais montrer comment les anneaux de Chow à coefficients, introduits par Rost, permettent de calculer les
invariants cohomologiques de certains groupes. L'idée est d'utiliser la "méthode de stratification"
(que l'on doit à Vistoli et Vezzozi), qui requiert l'analyse des orbites du groupe dans certaines représentations
bien choisies. Je vais retrouver de la sorte un certain nombre de résultats connus (pour le groupes orthogonal O(n), pour SO(n)...)
par une voie très différente de l'approche classique, et même apporter quelques nouveautés (pour Spin(n) par exemple).

16h-17h : Ulf REHMANN (Bielefeld) Anisotropic splitting of division algebras

In this joint work with S. Tikhonov and V.I. Yanchevskii, we are given a central division algebra A over a field
k. We show that there exists a field extension E/k making A cyclic such that the Schur indexes of every central simple
algebra B remains the same after base change to E.

17h30-18h30: Raman PARIMALA (Université Emory)
A local and global principle for isotropy
of quadratic forms for function fields of p-adic curves

In this joint work with J.L. Colliot-Thélène and V. Suresh, we are interested in quadratic forms defined over a
function field F of a p-adic curve (p odd). For a F-quadratic form q of dimension larger than 3, we prove that
it is isotropic iff it is isotropic over all completions F_v for v running over the rank one discrete valuation of F.

Vendredi 10 avril

14h30-15h30 : Hélène ESNAULT (Essen) :
Niveau de Hodge ≥ 1 sur un corps p-adique implique une
congruence pour le nombre de points rationnels de la réduction
(en commun avec Pierre Berthelot et Kay Rülling)

Résumé: si X est un schéma régulier et projectif sur R, l'anneau des
entiers d'un corps p-adique K de corps résiduel fini k, avec X_K de niveau
de Hodge ≥ 1, alors le nombre de points rationnels de X_k est 1
modulo |k|. Si on remplace la condition sur le niveau de Hodge par une
condition sur le coniveau l-adique, j'avais déjà montré il y a quelque
temps que l'on a la même conclusion. La condition de coniveau implique celle
de Hodge, mais à l'inverse, cela serait une conséquence de la conjecture de
Hodge g'en'eralisée, sur laquelle, clairement, nous n'avons rien à dire...
Nous contournons la difficulté.

16h-17h : Fedor BOGOMOLOV (Courant Institute, IHES)
Unramified cohomology of finite groups of Lie type

I will consider the notion of stable cohomology for finite groups.
The geometric definition of stable cohomology involves the algebraically closed ground field.
I will show that in fact stable cohomology for a finite l-group does not depend on the
the field above if the characteristic of the field is not equal to l. The latter allows to
use special features of geometry of the fields of finite characteristics for the calculation
of stable cohomology for many classes of groups.

In particular I will show how Lang's theorem provides with an easy way to compute
such cohomology for many finite groups of Lie type. In particular it implies that
the nonramified cohomology are trivial for many of such groups.

17h30-18h30: Peter JOSSEN (Institut Rényi, Budapest)

La topologie définie par des relations de congruence
sur les points rationnels d'une variété

Soit G une variété semiabélienne sur un corps de nombres k soit X un sous-groupe de type
fini de G(k) et soit encore P un point k-rationnel de G. Mon objectif est de montrer que le principe
local-global suivant a lieu:
"Si P appartient à X modulo presque tout premier de k, alors P appartient à X."
La question si un tel principe soit vrai remonte à P. Erdös et A. Schinzel dans le cas du groupe
multiplicatif, et a été posée par plusieurs personnes (W. Gajda, E. Kowalski, A. Perucca, T. Weston)
pour les cas où G est une variété abélienne ou semi-abélienne.

Vendredi 6 mars

14h30-15h30 : Moritz KERZ (Ratisbonne)
Kato's Hasse principle

Kato's conjectures on higher dimensional Hasse principles generalize
the classical local-global sequence of Brauer groups of a global field.
In joint work with Shuji Saito we develop a method which proves the
case of invertible coefficient characteristic of Kato's conjectures.
The talk will explicate the case of varieties over finite fields.

16h-17h : Cristian GONZALEZ AVILES (Université de La Serena, Chili)
Algebraic cycles of small codimension
on quadric fibrations over curves

I explain the proof of a recent finiteness theorem for cycles of codimension at most 4 on quadric fibrations
over curves over number fields. If time permits, I will point out the (hopefully not unsurmountable) difficulties
that arise when one tries to extend my methods to cycles of higher codimension.

17h30-18h30: Emmanuel PEYRE (Institut Fourier, Grenoble)

Le cardinal des variétés homogènes

L'exposé portera sur le résultat suivant, fruit d'une collaboration avec Michel Brion:
Sur les extensions d'un corps fini, le cardinal des points rationnels d'une variété homogène
sous un groupe algébrique linéaire est donné par une famille finie de polynômes entiers,
qui vérifient en outre une condition de positivité.

Vendredi 13 février ANNULE

16h-17h : Pierre GUILLOT (Strasbourg) ANNULE
Méthodes géométriques pour les invariants cohomologiques

Je vais montrer comment les anneaux de Chow à coefficients, introduits par Rost, permettent de calculer les
invariants cohomologiques de certains groupes. L'idée est d'utiliser la "méthode de stratification"
(que l'on doit à Vistoli et Vezzozi), qui requiert l'analyse des orbites du groupe dans certaines représentations
bien choisies. Je vais retrouver de la sorte un certain nombre de résultats connus (pour le groupes orthogonal O(n), pour SO(n)...)
par une voie très différente de l'approche classique, et même apporter quelques nouveautés (pour Spin(n) par exemple).

17h30-18h30: Kirill ZAINOULLINE (Munich) ANNULE
Universal cohomological invariant of a linear algebraic group

To any semisimple linear algebraic group G of inner type over a field F and a prime integer p
we assign certain indecomposable object R_p(G) in the category of Chow motives over F with Z/pZ
coefficients. The assignment R_p: G -> R_p(G) can be viewed as a "universal" cohomological invariant.
In particular, computing the generating function of R_p(G) over the algebraic closure of F we obtain
the generalized version of the J-invariant of Vishik. In our talk we will explain the relation of R_p with
the classical cohomological invariants (Tits algebra, Rost invariant) and provide some applications
to central simple algebras with orthogonal involutions.

Vendredi 23 janvier

14h30-15h30 : Cyrille DEMARCHE (Orsay)

Obstruction de descente et obstruction de Brauer-Manin étale

Etant donnée une variété projective lisse X sur un corps de nombres, on peut considérer
plusieurs obstructions au principe de Hasse sur X. En particulier, on s'intéresse ici à
l'obstruction de Brauer-Manin appliquée aux revêtements finis étales de X, ainsi qu'à
l'obstruction de descente sur X, obtenue en considérant tous les X-torseurs sous un groupe
linéaire. On démontre que la première obstruction est plus forte que la seconde (un résultat
récent de Skorobogatov montre que ces obstructions sont même équivalentes). En
particulier, en combinant ce résultat avec les exemples de Poonen (voir le deuxième exposé),
on en déduit qu'il existe des variétés où l'obstruction de descente est insuffisante pour
expliquer l'absence de point rationnel.

16h-17h : Jean-Louis COLLIOT-THELENE (Orsay)

Sur un article récent de B. Poonen

A. Skorobogatov (1999) a construit une variété définie sur un corps de nombres d'ensemble de
Brauer-Manin non vide, mais sans point rationnel.
B. Poonen vient de donner de nouveaux exemples, très simples, de telles variétés. A la différence
de l'exemple précédent, l'absence de point rationnel ne s'explique pas au moyen du groupe de
Brauer de revêtements finis étales. Je décrirai la construction de Poonen. Je montrerai ensuite que
si ces variétés ne possèdent pas de point rationnel, à tout le moins elles possèdent un zéro-cycle
de degré 1 (ce que l'on ignore dans l'exemple de Skorobogatov).

17h30-18h30 : Alexei SKOROBOGATOV (Londres)

Les formes tordues des quotients
des espaces homogènes par l'action d'un tore

The section conjecture of A. Grothendieck predicts that curves over
number fields whose arithmetic fundamental group extension splits will
have rational points. The purpose of the talk is to present evidence in
favour of the section conjecture.

In particular we will discuss the invariants period and index of a
smooth projective curve that have value 1 in the presence of a rational
point. We will examine the effect that the presence of a splitting has
on period and index and will thus find examples where the section
conjecture holds "trivially" in an appropriate sense.

We consider the problem of the title in several categories: smooth
manifolds, birational geometry, and biregular geometry. This naive
question, known in algebraic geometry as the Zariski Cancellation Problem,
upon reinterpretation touches upon a number of fundamental issues, in
particular regarding what "topological" (e.g., motivic) notions can tell
us about genuinely algebro-geometric phenomena. En route we encounter a
famous misproof of the Poincare conjecture, non-reductive group actions
and Hilbert's 14th problem, surprising facts about moduli of vector
bundles, algebraic spaces that aren't schemes, a host of new stably
rational varieties and a novel viewpoint on affine hypersurfaces in
general. Lurking in the background are the "motivic" A¹-homotopy theory
of Morel and Voevodsky and recent notions of "connectivity" (e.g.,
rationally connected, A¹-connected and higher analogs) in algebraic
geometry. The topics are drawn from joint work with Aravind Asok and with
Frances Kirwan.

Vendredi 14 novembre

16h-17h : Niels BORNE (Lille)

Le groupe fondamental pro-résoluble d'une courbe algébrique affine

Le groupe fondamental (pro-fini) d'une courbe algébrique, disons sur un corps algébriquement clos de
caractéristique zéro, est bien connu. Il dépend seulement du genre g de la courbe, et du nombre r de
"trous", si r est plus grand que 1, il est libre de rang 2g+r-1. La preuve de ce résultat purement algébrique repose
cependant sur des arguments transcendants, en particulier sur des théorèmes de comparaison
de type GAGA. Dans cet exposé, je vais présenter un travail en commun avec Michel Emsalem
contenant une preuve algébrique d'une version faible de ce théorème, où nous considérons seulement le plus
grand quotient pro-résoluble du groupe fondamental d'une courbe algébrique affine.
Si le temps le permet, je parlerai d'une tentative de dépasser le cas pro-résoluble.

17h30-18h30 : David HARARI (Orsay)

Zéro-cycles de degré 1 et sections de
la suite fondamentale de Grothendieck abélianisée

Soit X une variete algébrique (projective et lisse) définie sur un corps de
nombres ou un corps local k. La suite exacte fondamentale de
Grothendieck définit une extension du groupe de Galois absolu de
k par le groupe fondamental géométrique de X.
On expliquera le lien entre l’existence d’une section pour l'abélianisée de
cette suite et l’existence d’un zéro-cycle de degré 1 sur X.

Vendredi 10 octobre

16h15-17h15 : Julia HARTMANN (Heidelberg)

Patching over fields

Abstract: Patching methods (building a global object by building it locally) are an
important tool e.g. for solving inverse problems in Galois theory. This
talk describes a version of patching that works over fields rather than
rings. Applications include differential Galois theory as well as results
about quadratic forms and central simple algebras.

17h30-18h30 : Qing LIU (Bordeaux)

Indices de variétés algébriques

Résumé: Dans un travail commun avec Dino Lorenzini,, nous étudions quelques
propriétés de l'indice d'une variété algébrique propre régulière X sur
un corps K (i.e. le pgcd des degrés des points fermés de X), notamment lorsque K
est un corps de valuation discrète hensélien. Si X s'étend en un schéma propre
régulier sur l'anneau de valuation, nous relions l'indice de X aux indices des
composantes irréductibles (non nécessairement régulières) de la fibre spéciale,
généralisant des résultats antérieurs de Colliot-Thélène-Saito et de Bosch-Liu, et
répondant à une question de P. Clark. Un résultat clef pour la démonstration est un
lemme de déplacement pour des schémas singuliers.