Programme du groupe de travail :(indicatif, certaines choses risquent de changer)
Jeudi 8 octobre :
1) La sphère d'homologie de Poincaré. (Adrien Boulanger, IMJ)
2) Construction de variétés de dimension 3. (Selim Ghazouani, DMA)
Jeudi 22 octobre :
1) Structure hyperbolique sur le complémentaire du noeud de huit. (Fathi Ben Aribi, IMJ)
2) Des revêtements ramifiés de la sphère. (Bertrand Deroin, DMA)
Jeudi 5 novembre:
1) Géométrisation des fibrés en tores sur le cercle. (Miguel Acosta, IMJ)
2) Théorème de Bieberbach. (Elisha Falbel, IMJ)
Jeudi 3 décembre:
1) Les 8 géométries de Thurston. (Louis Ioos, IMJ)
2) Décomposition en variétés irréductibles/ Décomposition JSJ et la conjecture de géométrisation. (Julien Marché, IMJ)
Jeudi 17 décembre:
1) Uniformisation des sphères de Brieskorn (Maxime Bourrigan, DMA)
2) Variétés hyperboliques fibrant sur le cercle. (Nicolas Bergeron, IMJ)
Jeudi 14 janvier:
1) Le théorème d'uniformisation des supsensions (Cyril Lecuire, Toulouse)
Jeudi 28 janvier:
1) La compactification de l'espace de Teichmüller dans le cas du tore. (Adrien Boulanger, IMJ)
2) Feuilletages mesurés. (Carlos Fougeron, IMJ)
Jeudi 11 février:
1) La compactification de Thurston de l'espace de Teichmüller (Selim Ghazouani, DMA)
2) La classification des difféomorphismes des surfaces (Lorenzo Ruffoni, DMA)
Jeudi 25 février:
1) Paramétrisation des représentations quasi-fuchsiennes. (Ramanou Santharoubane, IMJ)
2) La compactification de Bestvina-Paulin-Morgan-Shalen-Poincaré (Maxime Wolff, IMJ)
Jeudi 10 mars:
1) Le théorème de Skora (Bertrand Deroin, DMA)
2) Le théorème de la limite double, partie 1 (Gilles Courtois, IMJ)
Jeudi 31 mars:
1) Le théorème de la limite double, partie 2 et 3 (Miguel Acosta, IMJ)
Jeudi 13 avril:
1) ???
2) La preuve du théorème d'hyperbolisation. (Jean-Claude Picaud, Université de Tours)
Jeudi 28 avril:
1) Le théorème de rigidité de Sullivan (Adolfo Guillot, DMA)
La collection d'article : Knots, groups and 3-manifolds. Disponible ici .
Etienne Ghys Stabilité et conjugaison différentiable pour certaibs feuilletages Disponible ici . (Contient la preuve que deux suspensions pseudo-Anosov du tore ne sont homéorphes que si leurs monodromomies sont conjuguées).
Curtis McMullen The evolution of geometric structures on 3-manifoldsDisponible ici
Fathi-Laudenbach-Poenaru Travaux de Thurston sur les surfaces. Astérisque 66-67
SEANCES PASSEES.
Exposé 1 : Sphère d'homologie de Poincaré (Adrien Boulanger)
La sphère de Poincaré est une variété de dimension trois que l'on peut construire par recollement des faces opposées d'un dodécaèdre plein. Le but de cet exposé est de décrire précisément cette construction et de démontrer la propriété fondamentale qui donne son nom à cette variété : c'est une sphère d'homologie entière. Pour cela nous serons amenés à étudier son premier groupe d'homotopie, ce qui sera facilité par la géométrisation de la variété
Lien vers la vidéo de l'exposé.
Exposé 2 : Construction de variétés de dimension 3 (Selim Ghazouani)
Je présenterais dans cet exposé des constructions classiques de variétés de dimension 3 et j'essayerais de donner exemples et invariants topologiques qui permettent de les distinguer grossièrement. Il s'agira de se convaincre que le monde des 3-variétés est suffisamment riche et d'en entrevoir les grandes catégories qui pourraient permettre une classification. Lien vers la vidéo de l'exposé.
Exposé 4 : Géométrisation de revêtements ramifiés de la sphère (Bertrand Deroin)
Bertrand n'a pas eu le temps de raconter tous les exemples qu'il avait préparé. Il a gentillement accepté de nous scanner ses notes avec tous les exemples : Notes de l'exposé
Exposé 5 : Géométrisation des fibrés en tores sur le cercle (Miguel Acosta)
Le but de cet exposé est de munir de structures géométriques complètes les fibrés en tores sur le cercle (a.k.a. tores d'application du tore). Dans un premier temps, nous verrons à quoi ressemblent ces variétés et leur revêtement universel. Nous décrirons ensuite les trois géométries modèles qui interviendront dans ce résultat de géométrisation, à savoir les géométries euclidienne, Nil et Sol, pour finalement munir explicitement les tores d'applications du tore d'une de ces trois géométries.
Exposé 7: Les huit géométries de Thurston (Louis Ioos)
L'introduction du chapitre "the eight model geometries" du livre "Three-dimensional geometry and topology" de William P. Thurston commence par une question: Qu'est ce que le géométrie? Après avoir étudié la réponse qu'en donne Thurston, j'expliquerai pourquoi il n'y a que huit cas possibles dans le cadre de la dimension 3. Mon exposé suivra de près la démonstration de ce livre, et mettra l'accent sur la construction explicite des ces géométries plutôt que de leur description ou des raisons conceptuelles de cette classification..
Exposé 8 : Surfaces incompressibles dans les variétés de dimension trois. (Julien Marché)
Dans cet exposé on présentera quelques résultats généraux sur les surfaces dans les variétés de dimension 3. Comme application on découpera toute variété de dimension 3 le long de sphères pour faire apparaître une somme connexe. Puis on expliquera ce qu'est une variété de Seifert et pourquoi toute variété de dimension 3 irréductible se découpe le long de tores en variétés qui sont hyperboliques ou Seifert.
Exposé 9: Uniformisation de sphères de Brieskron. (Maxime Bourrigan)
En général, les variétés de Brieskorn forment une famille de variétés de dimension impaire, provenant naturellement de l'étude locale de variétés complexes singulières.
En dimension 3, ces variétés ont été géometrisées dans une série de travaux conclue par un article de J. Milnor de 1975. Trois des huit géométries de Thurston apparaissent dans cette construction, modelées sur les groupes de Lie S3, Nil et SL2.
Exposé 10 : Une variété hyperbolique fibrant sur le cercle. (Nicolas Bergeron)
En 1979 T. Jorgensen surprend les géomètres en construisant une variété hyperbolique de dimension 3 qui fibre sur le cercle. Trente trois ans plus tard I. Agol, répondant positivement à une question de W. Thurston et en se basant sur des travaux de D. Wise, démontre que toute variété hyperbolique de dimension 3 possède en fait un revêtement fini qui fibre sur le cercle. Dans cet exposé je commencerai par construire un exemple explicite de variété hyperbolique de dimension 3 qui fibre sur le cercle, en suivant une idée de Thurston. La construction est élémentaire et peut être rendue complètement visuelle. L'exposé sera ainsi constitué d'une succession de petits films, réalisés avec Jos Leys. En commentant ces films j'essaierai d'expliquer comment certaines des idées derrière cette construction d'une variété hyperbolique fibrée sont à la base des travaux d'Agol et Wise.
Exposé 11 : Le théorème d'hyperbolisation, première partie. (Cyril Lecuire)
J'introduirais le théorème d'hyperbolisation de Thurston pour les variétés de dimension 3 qui fibrent sur le cercle. Plusieurs preuves de ce théorème ont été publiées. Je décrirai des outils et des résultats utilisées dans ces preuves ainsi que la structure de la démonstration d'Otal.
Exposé 12 : Le théorème d'hyperbolisation, deuxième partie. (Cyril Lecuire)
J'introduirais le théorème d'hyperbolisation de Thurston pour les variétés de dimension 3 qui fibrent sur le cercle. Plusieurs preuves de ce théorème ont été publiées. Je décrirai des outils et des résultats utilisées dans ces preuves ainsi que la structure de la démonstration d'Otal.
Exposé 13 : L'espace de Teichmüller. (Adrien Boulanger)
Après une introduction à l'espace de Teichmuller associé à une surface on présentera les idées de la compactification de Thurston de cet espace à travers le cas du tore.
Dans la compactification de l'espace de Teichmüller proposée par
Thurston, les feuilletages mesurés jouent un rôle fondamental :
ils forment le bord de cet espace.
J'introduirai les feuillatages mesurés à travers quelques théorèmes
élémentaires pour se familiariser avec ces objets, puis présenterai
leur classification sur les pantalons, qui permet de définir des cartes,
et une structure de variété à bord sur le compactifié de Teichmüller.
Exposé 15 : La compactification de Thurston de l'espace de Teichmüller.(Selim Ghazouani)
Après avoir montré comment l'espace de Teichmüller d'une surface fermé se plonge dans l'espace des fonctionnelles sur les courbes simples, nous verrons que l'adhérence d'un tel plongement s'interprète en termes de feuilletages mesurés sur une telle surface et fournit une compactification de l'espace de Teichmüller.
Exposé 16 : La classification des difféomorphismes des surfaces.(Lorenzo Ruffoni)
La compactification de l'espace de Teichmüller par l'espace des
feuilletages mesurés a été utilisée par Thurston pour donner une
classification (à isotopie près) des difféomorphismes d'une surface en
trois type: périodique, réductible et pseudo-Anosov; on construira des
exemples particuliers pour chaque classe. Le cas du tore sera un modèle
explicite à prendre en considération avant de présenter le cas général.
Exposé 18 : Groupes quasi-Fuchsiens et le théorème d'uniformisation de Bers.(Ramanou Santharoubane)
Nous allons étudier la notion de groupes Quasi-Fuchsien qui sont des sous groupes discrets de PSL2(C) vérifiant certains propriétés. Le théorème principal de cet exposé est le théorème d'uniformisation de Bers qui paramètre l'ensemble des groupes Quasi-Fuchsian à l'aide de deux copies de l'espace de Teichmuller.
Exposé 19 : Le théorème de Skora.(Bertrand Deroin)
Ce résultat permet de géométriser certaines actions dites petites des groupes de surfaces sur les arbres, par des laminations géodésiques mesurées. Nous expliquerons ce que cela veut dire et donnerons une démonstration.
Exposé 20 : Le théorème de la limite double (1)(Gilles Courtois)
Dans cet exposé, on expliquera les grandes lignes de la démonstration du théorème de la limite double et en particulier le rôle joué par les réseaux ferroviaires.
Exposés 21 et 22 : Le théorème de la limite double (2 et 3)(Miguel Acosta)
Dans cet exposé, qui fait la suite de l'exposé de Gilles "Le théorème
de la limite double 1", on rappellera l'énoncé du théorème et la
stratégie de la preuve, pour ensuite la terminer. Nous introduirons les
notions de réalisation d'une lamination dans un arbre et de
delta-réalisation dans l'espace hyperbolique, qui seront essentielles
dans la preuve. Pour mieux pouvoir les exploiter, nous introduirons
aussi les réseaux ferroviaires. La fin de la preuve fera intervenir des
arguments de géométrie du plan hyperbolique.
Même si ce n'est pas indispensable, il est préférable d'avoir vu (ou
revu) rapidement l'exposé de Gilles pour avoir en tête les objets que
nous allons considérer. Comme il y a du
travail à faire, l'exposé prendra la forme soit d'un exposé long, soit
de deux exposés consécutifs, suivant les envies du public et de
l'orateur jeudi prochain.Les notes de Miguel des exposés
Exposé 25 : Le théorème de rigidité de Sullivan(Adolfo Guillot)
Nous démontrerons le théorème de Sullivan utilisé dans la preuve du
théorème d'hyperbolisation des variétés fibrées. Le Théorème affirme
qu'il n'existe pas de champ de droites (mesurable) sur la droite
complexe, invariant sous l'action d'un groupe kleinien, dont le
support est contenu dans l'ensemble limite du groupe.