Groupe de travail : Théorème de super rigidité de Margulis.


Avec Nicolas Matte Bon, nous organisons un groupe de travail pour comprendre le théorème de super rigidité de Margulis. Le groupe de travail se tiendra idéalement toutes les deux semaines à l'ENS Ulm et s'adresse à tous, bien que les exposés auront pour contrainte d'être accessible aux doctorants en géométrie (au sens large).
Aucun pré-requis ne sera nécessaire.Le format du groupe de travail sera le suivant : toutes les deux semaines deux exposés d'une heure et quart. Le premier sera un exposé introductif où l'on discutera des notions élémentaires relatives aux groupes de Lie : réseaux, espaces symétriques, semi-simplicité, etc. Les deuxièmes séances seront uniquement consacrées à la preuve du théorème de Margulis. Les exposés seront fait de telle sorte que les exposés de la deuxième heure puissent être suivis complètement indépendamment de ceux de la première heure, de telle sorte que les personnes uniquement intéressées par la preuve du théorème ne puissent suivre que ceux-ci.







Programme du groupe de travail :(indicatif, certaines choses risquent de changer)

Mercredi 11 février :
1) Exemples de réseaux dans PSL(2,R), rigides et non-rigides. (Selim Ghazouani)
2) Enoncé du théorème de Margulis et plan de la preuve. (Nicolas Matte Bon)

Mercredi 25 février :
1) Groupes de Lie semi-simples. (Jérémy Daniel, DMA)
2) Le théorème de Moore I. (Adrien Boulanger, IMJ)

Mercredi 11 mars :
1) Première étape de la preuve du théorème de super-rigidité : construction de sections invariantes. (Kevin Boucher)

Mercredi 25 mars :
1) Espaces symétriques (Louis Ioos, IMJ)
2) Deuxième étape de la preuve du théorème de super-rigidité. (Laurent Dufloux, Orsay)

Mercredi 22 avril :
1) Moyenabilité. (Selim Ghazouani, DMA)
2) Preuve de la super-rigidité III (Bertrand Deroin, DMA)

Mercredi 6 mai :
1) Une autre preuve du théorème de super-rigidité (Jean Lecureux, Orsay)

Mercredi 20 mai :
1) Théorème de Borel-Harish Chandra. (Maxime Bourrigan,DMA)
2) Arithméticité des réseaux. (Arthur Ciseur Lebras, IMJ)

Mercredi 17 juin :
1) Géométrie hyperbolique complexe. (Ruben Dashyan, IMJ)
2) Arithméticité du groupe fondamental d'un 'faux plan prokectif d'après Klingler et Yeung. (Hsueh-Yung Lin, PolytechnicSchoolofLondon)

Mercredi 24 juin :
1) ?
2) Super-rigidité du commensurateur (Bertrand Deroin, DMA)


Références :

Dave W. Morris Introduction to Arithmetic Groups Disponible ici .

Pierre Pansu Sous groupes discrets des groupes de Lie : rigidité, arithméticité. Disponible ici .

Yves Benoist Cours de M2 sur les réseaux dans les groupes de Lie. Disponible ici .

Jean-François Quint An introduction to the study of dynamical systems on homogeneous spaces. Disponible ici

SEANCES PASSEES.

Exposé 3 : Groupes de Lie semi-simples. (Jérémy Daniel)

Le but de cet exposé sera de présenter quelques résultats de la théorie des groupes de Lie semi-simples, en soulignant le rôle du compact maximal. Un certain nombre d'exemples sera donné. Lien vers la vidéo de l'exposé.



Exposé 4 : Le théorème de Moore. (Adrien Boulanger)

La preuve du théorème de super-rigidité de Margulis utilise un résultat de théorie ergodique : le théorème de Moore. L'énoncé est le suivant : si G est un groupe de Lie semi-simple, H un sous groupe fermé non compact de G et R un réseau de G, alors l'action de H sur G/R est ergodique.
Cette propriété vient en fait d'une description plus générale des actions unitaires du groupe spécial linéaire SL(2,R) sur des espaces de Hilbert. L'essentiel de l'exposé sera consacré à l'étude des propriétés de telles actions et à son application dans le cadre de la théorie ergodique. Lien vers la vidéo de l'exposé.



Exposé 5 : Première étape de la preuve du théorème de super-rigidité : construction de sections invariantes.(Kevin Boucher)

Une étape de la preuve du théorème de superrigidité consiste à construire une section mesurable non-triviale du fibré plat associé à notre morphisme $\phi :\gamma\to H$. Par un procédé d'identification qui sera détaillé dans les séances suivantes, on est amené à construire une application de bord $\psi :G/P \to P(V)$ $\gamma$- équivariante où V serait une représentation irréductible dans notre groupe simple $H$ et $P$ un sous-groupe parabolique. C'est sur cette étape que portera la prochaine séance ; nous mettrons en lumière les arguments de moyennabilité et quelques éléments de la théorie des bords qui permettent de construire une telle application. Lien vers la vidéo de l'exposé.



Exposé 6 : Espaces symétriques (Louis Ioos)

Lien vers la vidéo de l'exposé.



Exposé 7 : Deuxième étape de la preuve du théorème de super-rigidité : deux lemmes techniques. (Laurent Dufloux)

Je commencerai par rappeler les éléments de théorie des produits de matrices aléatoires qui servent dans l'argument, avant de démontrer en détail les deux "lemmes techniques" dont s'est servi Kévin Boucher la semaine passée. Lien vers la vidéo de l'exposé.



Exposé 9 : Troisième étape de la preuve du théorème de super-rigidité : fin de la preuve. (Bertrand Deroin)

Lien vers la vidéo de l'exposé.



Exposé 11 : Construction de réseaux arithmétiques : le théorème de Borel-Harish Chandra. (Maxime Bourrigan)

Lien vers la vidéo de l'exposé.



Exposé 12 : Le théorème d'arithméticité de Margulis.(Arthur-Ciseur Lebras)

Lien vers la vidéo de l'exposé.


Exposé 13 : Géométrie hyperbolique complexe (et réelle).(Ruben Dashyan)

Lien vers la vidéo de l'exposé.



Exposé 14 : Arithméticité du groupe fondamental d'un faux plan projectif, d'après Klinger et Yeung'.(Hsueh-Yung Lin)

Lien vers la vidéo de l'exposé.