Recherche

Mes travaux de recherche concernent principalement la combinatoire et la géométrie des groupes de Coxeter et des groupes de réflexion réels et complexes.

Je suis actuellement stagiaire postdoctoral au LaCIM (Laboratoire de Combinatoire et Informatique Mathématique), UQÀM (Université du Québec à Montréal). Je travaille en particulier avec Christophe Hohlweg.

Auparavant j'étais doctorant au DMA, ENS, sous la direction de David Bessis.

Articles — Thèse — Conférences — Exposés (séminaires)

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Articles et prépublications

→ Lien direct vers ma page arXiv.

Asymptotical behaviour of roots of infinite Coxeter groups II, avec Matthew Dyer et Christophe Hohlweg: (en préparation)
Asymptotical behaviour of roots of infinite Coxeter groups I, avec Christophe Hohlweg et Jean-Philippe Labbé (arXiv preprint): Let W be an infinite Coxeter group. We initiate the study of the set E of limit points of "normalized" positive roots (representing the directions of the roots) of W. We show that E is contained in the isotropic cone of the bilinear form B associated to a geometric representation, and illustrate this property with numerous examples and pictures in rank 3 and 4. We also define a natural geometric action of W on E, and then we exhibit a countable subset of E, formed by limit points for the dihedral reflection subgroups of W. We explain that this subset can be built from the intersection with Q of the lines passing through two positive roots, and we establish that it is dense in E.
Lyashko-Looijenga morphisms and submaximal factorisations of a Coxeter element, à paraître dans Journal of Algebraic Combinatorics (version arXiv, version publiée): When W is a finite reflection group, the noncrossing partition lattice NCP_W of type W is a rich combinatorial object, extending the notion of noncrossing partitions of an n-gon. A formula (for which the only known proofs are case-by-case) expresses the number of multichains of a given length in NCP_W as a generalised Fuss-Catalan number, depending on the invariant degrees of W. We describe how to understand some specifications of this formula in a case-free way, using an interpretation of the chains of NCP_W as fibers of a Lyashko-Looijenga covering (LL), constructed from the geometry of the discriminant hypersurface of W. We study algebraically the map LL, describing the factorisations of its discriminant and its Jacobian. As byproducts, we generalise a formula stated by K. Saito for real reflection groups, and we deduce new enumeration formulas for certain factorisations of a Coxeter element of W.

[Plusieurs versions de présentations liées aux résultats de cet article sont disponibles plus bas dans les sections Conférences et Exposés.]
Submaximal factorisations of a Coxeter element in complex reflection groups (extended abstract) (pdf): Cet article est une version courte du précédent, exposé à la conférence SFCA/FPSAC 2011 à Reykjavik (Islande), et publié dans les DMTCS Proceedings de la conférence.
Discriminants and Jacobians of virtual reflection groups (arXiv preprint): Let A be a polynomial algebra with complex coefficients. Let B be a finite extension ring of A which is also a polynomial algebra. We describe the factorisation of the Jacobian J of the extension into irreducibles. We also introduce the notion of a well-ramified extension and define its discriminant polynomial D. In the particular case where A is the ring of invariants of B under the action of a group (i.e., a Galois extension), this framework corresponds to the classical invariant theory of complex reflection groups. In the more general case of a well-ramified extension, we explain how the pair (D,J) behaves similarly to a Galois extension. This work can be viewed as the first step towards a possible invariant theory of ``virtual reflection groups''.
Orbites d'Hurwitz des factorisations primitives d'un élément de Coxeter, Journal of Algebra 323 (2010), 1432-1453. (version arXiv ; version publiée): J'étudie l'action d'Hurwitz du groupe de tresses classique sur les factorisations d'un élément de Coxeter c d'un groupe de réflexions W. On sait que l'action d'Hurwitz est transitive sur l'ensemble des décompositions réduites de c en réflexions. Je montre une propriété similaire pour les factorisations primitives de c, i.e. celles dont tous les facteurs sauf un sont des réflexions. Ce travail est motivé par la recherche d'une explication géométrique de la formule de Chapoton sur le nombre de chaînes de longueur donnée dans le treillis des partitions non croisées associé à W. La démonstration présentée repose sur les propriétés du revêtement de Lyashko-Looijenga et sur la géométrie du discriminant de W.

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Thèse et travaux précédents

Thèse :

J'ai soutenu ma thèse — intitulée Groupes de réflexion, géométrie du discriminant et partitions non-croisées — le 9 juillet 2010 à Paris, en présence du jury composé de :

David Bessis (directeur de thèse), ENS.
Cédric Bonnafé, Université de Franche-Comté.
Frédéric Chapoton (rapporteur), Université Lyon 1.
Patrick Dehornoy, Université de Caen.
Christian Krattenthaler (rapporteur), Universität Wien.
François Loeser, ENS.
Jean Michel, Université Paris 7.

Le manuscrit final et la présentation de la soutenance sont disponibles ici.

Résumé.
Lorsque W est un groupe de réflexion complexe bien engendré, le treillis NCP_W des partitions non-croisées de type W est un objet combinatoire très riche, généralisant la notion de partitions non-croisées d'un n-gone, et intervenant dans divers contextes algébriques (monoïde de tresses dual, algèbres amassées...). De nombreuses propriétés combinatoires de NCP_W sont démontrées au cas par cas, à partir de la classification des groupes de réflexion. C'est le cas de la formule de Chapoton, qui exprime le nombre de chaînes de longueur donnée dans le treillis NCP_W en fonction des degrés invariants de W. Les travaux de cette thèse sont motivés par la recherche d'une explication géométrique de cette formule, qui permettrait une compréhension uniforme des liens entre la combinatoire de NCP_W et la théorie des invariants de W.
Le point de départ est l'utilisation du revêtement de Lyashko-Looijenga (LL), défini à partir de la géométrie du discriminant de W. Dans le chapitre 1, on raffine des constructions topologiques de Bessis, permettant de relier les fibres de LL aux factorisations d'un élément de Coxeter. On établit ensuite une propriété de transitivité de l'action d'Hurwitz du groupe de tresses B_n sur certaines factorisations. Le chapitre 2 porte sur certaines extensions finies d'anneaux de polynômes, et sur des propriétés concernant leurs jacobiens et leurs discriminants. Dans le chapitre 3, on applique ces résultats au cas des extensions définies par un revêtement LL. On en déduit — sans utiliser la classification — des formules donnant le nombre de factorisations sous-maximales d'un élément de Coxeter de W en fonction des degrés homogènes des composantes irréductibles du discriminant et du jacobien de LL.

Mots-clefs : groupes de réflexion complexes, partitions non-croisées, nombres de Fuss-Catalan, formule de Chapoton, revêtement de Lyashko-Looijenga, factorisations d'élément de Coxeter.

Quelques écrits plus anciens (pendant mon master) :

(pour des textes encore plus anciens écrits pendant mes études — TIPE, mémoire de maîtrise... — voir ma page curriculum).

Groupes de réflexions, groupes de tresses, structures de Garside. (pdf): Présentation de mon domaine de recherche (inclus dans mon rapport final de magistère) (octobre 2006).
Groupes de réflexions et structures de Garside (avec David Bessis). (pdf): Projet de thèse (octobre 2006) (résumé ici).
Propriété de treillis dans les groupes de réflexions réels finis, d'après Brady-Watt. (pdf): Mémoire de M2 (sous la direction de David Bessis) : j'ai essentiellement clarifié une démonstration récente de Brady-Watt concernant une propriété de treillis de certains intervalles dans les groupes de réflexions. (mars-septembre 2006).

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Exposés de conférences, et autres colloques

(liste des conférences où j'ai donné un exposé ou auxquelles j'ai assisté, et conférence où je prévois d'aller)

→ Coxeter Groups meet Convex Geometry: [Conférence que je co-organise]
Mini-cours / Workshop, au LaCIM - UQÀM, 13 au 22 août 2012.
→ SFCA/FPSAC 2012: 24e Conférence Internationale Séries Formelles et Combinatoire Algébrique, Nagoya, Japon, 30 juillet au 3 août 2012.
→ Summer School on Algebraic and Enumerative Combinatorics: S. Miguel de Seide, Portugal, 2 au 13 juillet 2012.
→ Sage Days 38: Workshop sur le logiciel Sage, CRM, Montréal, 7 au 11 mai 2012.
Combinatorial Algebra meets Algebraic Combinatorics: LaCIM-UQÀM, Montréal, Québec, 20 au 22 janvier 2012.
Réunion d'hiver 2011 de la SMC: réunion de la Société Mathématique du Canada, Toronto, Ontario, 10 au 12 décembre 2011.
SFCA/FPSAC 2011 Exposé : Submaximal factorisations of a Coxeter element in complex reflection groups: 23e Conférence Internationale Séries Formelles et Combinatoire Algébrique, Reykjavik, Islande, 13 au 17 juin 2011.
2011 Spring Eastern Sectional Meeting of the AMS, Special session Combinatorics of Coxeter Groups Exposé : Geometrical enumeration of certain factorisations of a Coxeter element in finite reflection groups: College of the Holy Cross, Worcester, MA, 9 et 10 avril 2011.
Combinatorial Algebra meets Algebraic Combinatorics Exposé : Factorizations of a Coxeter element and discriminant of a reflection group (présentation): Lakehead University, Thunder Bay (Ontario), 21 au 23 janvier 2011.
Colloque sur les Surfaces et les ReprésentationsExposé : Discriminant of a reflection group and factorisations of a Coxeter element (présentation): Équipe SAG, Université de Sherbrooke, 6 au 9 octobre 2010.
LaCIM 2010: Conférence pour les 20 ans du LaCIM, Université du Québec à Montréal, 29 au 31 août 2010.
Journées Garside Exposé : Factorisations of the Garside element in the dual braid monoids (présentation): Université de Caen Basse-Normandie, 30 juin et 1er juillet 2010.
Groupes d'Artin-Tits, automorphismes et autres questions liées: Université de Bourgogne, Dijon, 4 et 5 mars 2010.
Journées Tresses "Tresses in Pau": Université de Pau et des Pays de l'Adour, du 5 au 8 octobre 2009.
Arrangements d'hyperplans, Mathematical Society of Japan (MSJ) Seasonal Institute (SI): Université d'Hokkaido, Sapporo (Japon), du 1er au 13 août 2009.
Instructional workshop dans le cadre du programme "Théorie de Lie algébrique": Newton Institute, Cambridge, du 12 au 23 janvier 2009.
Algèbres de Hecke, groupes et géométrie: Marseille, C.I.R.M., du 13 au 17 octobre 2008.
Braids in Paris, rencontres parisiennes du GDR Tresses: Paris, du 17 au 20 septembre 2008.
Tresses, noeuds et applications: Montpellier, du 9 au 11 juin 2008.
Thompson's Groups: New Developments and Interfaces: Marseille, C.I.R.M., du 2 au 6 juin 2008.
LieGrits Workshop, final worshop of the research network "Flags, Quivers and Invariant Theory in Lie Representation Theory": Mathematical Institute, University of Oxford, du 3 au 9 janvier 2008.
Ecole CLUSE de Mathématiques, Théorie des Groupes: Messigny-et-Vantoux, du 28 octobre au 1er novembre 2007.
Journées toulousaines autour des tresses, groupes et variétés: Toulouse, du 5 au 8 septembre 2007.
Noeuds, arrangements d'hyperplans et groupes de Coxeter: Marseille, C.I.R.M, du 4 au 8 juin 2007.
Autour des conjectures de Broué: Marseille, C.I.R.M., du 28 mai au 1er juin 2007.
Géométrie des groupes ; semaine 4 : Aspects combinatoires, algorithmiques et cryptographiques: Marseille, C.I.R.M., du 26 février au 2 mars 2007.
Théorie géométrique et cohomologique des groupes : rigidité et déformations: Marseille, C.I.R.M., du 18 au 22 avril 2006.

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Autres exposés (séminaires,...)

→ Asymptotical behaviour of roots of infinite Coxeter groups: au séminaire d'algèbre Ottawa-Carleton, 21 mars 2012.
→ Comportement asymptotique des racines des groupes de Coxeter infinis: au séminaire SAG à l'université de Sherbrooke, 16 mars 2012.
The braid group and generalizations: au séminaire CIRGET-LaCIM à Montréal, 9 février 2012.
Factorizations of a Coxeter element and discriminant of a reflection group: au séminaire de Combinatoire de l'Université du Minnesota, Minneapolis, 22 avril 2011.
The noncrossing partition lattice of a finite reflection group: au Student Combinatorics seminar de l'Université du Minnesota, Minneapolis, 21 avril 2011.
Noncrossing partition lattice and discriminant of a reflection group: Applied Algebra Seminar, York University (ON), 17 janvier 2011.
Treillis des partitions non-croisées et discriminant d'un groupe de réflexion: au séminaire de combinatoire du LaCIM, le 22 octobre 2010.
Groupes de réflexion, géométrie du discriminant et partitions non-croisées (présentation): soutenance de thèse, le 9 juillet 2010.
Discriminants d'un groupe de réflexion et factorisations d'un élément de Coxeter (présentation): le 10 juin 2010 au séminaire Algèbre et Théorie des Nombres de Besançon.
Le morphisme de Lyashko-Looijenga : un groupe de réflexion virtuel ? (présentation): le 25 février 2010 au séminaire Chevalley.
Action d'Hurwitz sur certaines factorisations d'un élément de Coxeter: le 12 mai 2009 au séminaire Algèbre et Géométrie du Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme (LMNO) de Caen.
Groupes de réflexions et groupes de Coxeter : de l'autre côté des miroirs (présentation): le 11 mai 2009, à l'ENS, à l'occasion de la journée Mathématiques en mouvement de la Fondation Sciences Mathématiques de Paris.
Groupes de réflexions et treillis des partitions non-croisées: le 6 janvier 2009 au séminaire des thésards d'algèbre et géométrie du DMA.
Action d'Hurwitz sur les factorisations par blocs d'un élément de Coxeter: le 18 décembre 2008 au séminaire Chevalley.
Combinatoire du treillis des partitions non-croisées généralisées: le 14 avril 2008 au groupe de travail des thésards de groupes finis de l'Institut de Mathématiques de Jussieu.
Mieux comprendre les groupes de réflexions complexes finis (présentation): Courte présentation (10 min) de mon domaine de recherche, le 18 mars 2008, à l'occasion d'une formation CIES.
Groupes de réflexions complexes et monoïde dual de tresses: le 2 mai 2007 au séminaire des élèves de mathématiques de l'ENS.
Propriété de treillis dans les groupes de réflexions réels finis, d'après Brady-Watt: le 28 mars 2007 au séminaire de théorie des groupes d'Amiens.
Propriété de treillis dans les groupes de réflexions réels finis: le 20 octobre 2006 au groupe de travail des thésards de groupes finis de l'Institut de Mathématiques de Jussieu.