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Thèse et travaux précédents

Thèse : Groupes de réflexion, géométrie du discriminant et partitions non-croisées

Thèse de l'université Paris VII-Denis Diderot et ENS, soutenue le 9 juillet 2010 à Paris, en présence du jury composé de :

David Bessis (directeur de thèse), ENS.
Cédric Bonnafé, Université de Franche-Comté.
Frédéric Chapoton (rapporteur), Université Lyon 1.
Patrick Dehornoy, Université de Caen.
Christian Krattenthaler (rapporteur), Universität Wien.
François Loeser, ENS.
Jean Michel, Université Paris 7.

Résumé.
    Lorsque W est un groupe de réflexion complexe bien engendré, le treillis NCP_W des partitions non-croisées de type W est un objet combinatoire très riche, généralisant la notion de partitions non-croisées d'un n-gone, et intervenant dans divers contextes algébriques (monoïde de tresses dual, algèbres amassées...). De nombreuses propriétés combinatoires de NCP_W sont démontrées au cas par cas, à partir de la classification des groupes de réflexion. C'est le cas de la formule de Chapoton, qui exprime le nombre de chaînes de longueur donnée dans le treillis NCP_W en fonction des degrés invariants de W. Les travaux de cette thèse sont motivés par la recherche d'une explication géométrique de cette formule, qui permettrait une compréhension uniforme des liens entre la combinatoire de NCP_W et la théorie des invariants de W.
    Le point de départ est l'utilisation du revêtement de Lyashko-Looijenga (LL), défini à partir de la géométrie du discriminant de W. Dans le chapitre 1, on raffine des constructions topologiques de Bessis, permettant de relier les fibres de LL aux factorisations d'un élément de Coxeter. On établit ensuite une propriété de transitivité de l'action d'Hurwitz du groupe de tresses B_n sur certaines factorisations. Le chapitre 2 porte sur certaines extensions finies d'anneaux de polynômes, et sur des propriétés concernant leurs jacobiens et leurs discriminants. Dans le chapitre 3, on applique ces résultats au cas des extensions définies par un revêtement LL. On en déduit — sans utiliser la classification — des formules donnant le nombre de factorisations sous-maximales d'un élément de Coxeter de W en fonction des degrés homogènes des composantes irréductibles du discriminant et du jacobien de LL.

Mots-clefs : groupes de réflexion complexes, partitions non-croisées, nombres de Fuss-Catalan, formule de Chapoton, revêtement de Lyashko-Looijenga, factorisations d'élément de Coxeter.


Travaux plus anciens (en master) :

Groupes de réflexions, groupes de tresses, structures de Garside. (pdf)
Présentation de mon domaine de recherche (inclus dans mon rapport final de magistère) (octobre 2006).
Groupes de réflexions et structures de Garside (avec David Bessis). (pdf)
Projet de thèse (octobre 2006) (résumé ici).
Propriété de treillis dans les groupes de réflexions réels finis, d'après Brady-Watt. (pdf)
Mémoire de M2 (sous la direction de David Bessis) : j'ai essentiellement clarifié une démonstration récente de Brady-Watt concernant une propriété de treillis de certains intervalles dans les groupes de réflexions. (mars-septembre 2006).

N.B.: pour des textes encore plus anciens écrits pendant mes études — TIPE, mémoire de maîtrise... — voir ma page curriculum.

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