Thèse de l'université Paris VII-Denis Diderot et ENS, soutenue le 9
juillet 2010 à Paris, en présence du jury composé de :
David Bessis (directeur de
thèse), ENS.
Cédric Bonnafé,
Université de Franche-Comté.
Frédéric Chapoton
(rapporteur), Université Lyon 1.
Patrick Dehornoy,
Université de
Caen.
Christian
Krattenthaler (rapporteur), Universität Wien.
François Loeser, ENS.
Jean Michel, Université
Paris 7.
Résumé.
Lorsque W est un groupe de réflexion complexe bien
engendré, le treillis NCP_W des partitions non-croisées de type W est un
objet combinatoire très riche, généralisant la notion de partitions
non-croisées d'un n-gone, et intervenant dans divers contextes algébriques
(monoïde de tresses dual, algèbres amassées...). De nombreuses propriétés
combinatoires de NCP_W sont démontrées au cas par cas, à partir de la
classification des groupes de réflexion. C'est le cas de la formule de
Chapoton, qui exprime le nombre de chaînes de longueur donnée dans le
treillis NCP_W en fonction des degrés invariants de W. Les travaux de cette
thèse sont motivés par la recherche d'une explication géométrique de cette
formule, qui permettrait une compréhension uniforme des liens entre la
combinatoire de NCP_W et la théorie des invariants de W.
Le point de départ est l'utilisation du revêtement de
Lyashko-Looijenga (LL), défini à partir de la géométrie du discriminant de
W. Dans le chapitre 1, on raffine des constructions topologiques de Bessis,
permettant de relier les fibres de LL aux factorisations d'un élément de
Coxeter. On établit ensuite une propriété de transitivité de l'action
d'Hurwitz du groupe de tresses B_n sur certaines factorisations. Le
chapitre 2 porte sur certaines extensions finies d'anneaux de polynômes, et
sur des propriétés concernant leurs jacobiens et leurs discriminants. Dans
le chapitre 3, on applique ces résultats au cas des extensions définies par
un revêtement LL. On en déduit — sans utiliser la classification — des
formules donnant le nombre de factorisations sous-maximales d'un élément de
Coxeter de W en fonction des degrés homogènes des composantes irréductibles
du discriminant et du jacobien de LL.
Mots-clefs : groupes de réflexion complexes, partitions non-croisées, nombres de Fuss-Catalan, formule de Chapoton, revêtement de Lyashko-Looijenga, factorisations d'élément de Coxeter.
N.B.: pour des textes encore plus anciens écrits pendant mes études — TIPE, mémoire de maîtrise... — voir ma page curriculum.