Au deuxième semestre, le séminaire se réunit généralement les jeudis de 16h30 à 17h30, toutes les deux semaines environ. Voici la liste des séances passées ou à venir :
À partir d'une loi de probabilité, on cherche à simuler informatiquement des réalisations. Une façon de le faire (en temps raisonnable) est d'utiliser des chaînes de Markov dont la mesure invariante est la loi considérée, et qui vérifient certains théorèmes ergodiques. Je présenterai des fonctions de transition correspondant à l'algorithme de Metropolis-Hastings et à la dynamique de Glauber, avec pour exemple le modèle d'Ising.
L'étude des cartes aléatoires est une branche très récente des probabilités, dont le but est de comprendre à quoi ressemble une géométrie aléatoire. On commencera par construire l'UIPT, exemple de carte planaire infinie aléatoire, qui possède une agréable "propriété de Markov spatiale". On expliquera en quoi consiste cette propriété puis on l'utilisera pour étudier les propriétés géométriques de l'UIPT à l'aide de la technique du "peeling".
Les résultats présentés figurent dans les deux articles suivants : http://arxiv.org/abs/math/0207153 et http://arxiv.org/abs/math/0208123
Le but de cet exposé est d'établir des propriétés sur les transformations conformes grâce au mouvement Brownien. Le mouvement Brownien plan est, à changement de temps près, invariant par composition par une similitude. Cette propriété se généralise : il est aussi invariant par composition par une fonction holomorphe. Ceci va nous permettre de déduire un théorème d'analyse complexe : le théorème 1/4 de Koebe et, si le temps le permet, des propriétés sur le prolongement de transformations conformes au bord de leur domaine.
La preuve du théorème de Koebe présentée est dûe à Davis Burgess en 1978.
On s'intéressera aux processus branchants tels que le processus de Galton-Watson ou de Smith-Wilkinson. La marche aléatoire branchante en milieu aléatoire (BRWRE) est une généralisation de ces processus en rajoutant un mouvement dans l'espace. On exposera les résultats de survie et d'extinction pour la BRWRE. On présentera ensuite un cas ouvert pour lequel des résultats partiels ont été obtenus.
Le produit de matrices aléatoires est un exemple simple d'évolution non commutative. Il peut régir typiquement le comportement d'un vecteur soumis à une suite de transformations linéaires aléatoires. On s'intéressera au théorème de Furstenberg et Kesten (1960) donnant l'évolution de la norme d'un produit M_n...M_0 de matrices i.i.d. : il s'agit d'une généralisation de la loi des grands nombres. On donnera une démonstration de ce théorème puis on discutera de son intérêt pour l'étude des systèmes désordonnés en physique statistique.
En gravité quantique, la géométrie fluctuante de l'espace peut être décrite par une carte aléatoire. Pour modéliser l'interaction espace-matière, on couple la loi de la carte avec celle d'un modèle de physique statistique. Dans cet exposé, on introduira les cartes cFK, une famille de cartes aléatoires couplées au modèle de Potts. On décrira la bijection dite "de hamburger-cheeseburger" utilisée pour l'étude de ce modèle et, si le temps le permet, la construction de la limite locale des cartes cFK.
Les cartes cFK et la bijection de hamburger-cheeseburger ont été introduites dans l'article suivant : http://arxiv.org/abs/1108.2241
Le mouvement brownien branchant s'obtient en considérant une particule se déplaçant selon un mouvement brownien, avec un temps de vie exponentiel et qui à sa mort donne naissance à un nombre aléatoire d'enfants qui font alors de même en partant de la position où est mort leur parent. Nous allons voir le lien avec l'équation F-KPP et montrer comment à partir des résultats obtenus par Bramson en 1983 sur les solutions de l'équation F-KPP, on peut déduire le comportement asymptotique de la position de la particule extrémale ainsi qu'un résultat plus récent (Arguin, Bovier, Kistler en 2011) concernant la convergence du processus extrémal, c'est-à-dire le processus ponctuel formé par les particules à un instant t vues depuis le haut du mouvement brownien branchant.
Le modèle du voteur est un processus à temps continu sur un graphe, où chaque sommet possède initialement une opinion et tente de la transmettre à ses voisins. Les principales questions que pose ce modèle sont les suivantes : étant donné un sommet à un instant donné, d'où provient son opinion ? A-t-il été converti récemment ?
La plupart des résultats présentés sont dus à Cox et Geiger (2000, http://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aop/1019160499).
Le modèle d'Ising est à la fois un modèle classique de physique statistique dans l'étude des systèmes ferromagnétiques, et un objet combinatoire assez riche. Dans le cas d'un graphe planaire je parlerai de développements haute et basse température, de dualité de Kramers-Wannier, je présenterai la notion de variables d'ordre et de désordre, avec comme application une esquisse du calcul de la température critique sur le réseau carré. Ensuite, si le temps le permet, je montrerai quelques liens avec d'autres modèles comme le modèle 8V "fermion-free" et des modèles de dimères sur des graphes décorés, qui permettent d'étudier le modèle par des techniques déterminantales.
Le principe du transport de masse a ses origines dans la théorie de la percolation : nous verrons notamment qu'il n'y a pas de percolation au point critique dans le cas de graphes non-moyennables (transitifs unimodulaires). Ensuite nous nous intéresserons à un théorème d'uniformisation de He et Schramm pour les triangulations planaires : le transport de masse donne une caractérisation du type de la triangulation (aléatoire) en termes de degré.
On s'intéressera dans cet exposé au nombre asymptotique de sommets de Z^d distincts visités par marche aléatoire indexée par un arbre aléatoire à n sommets. En particulier en petite dimension, et sous de bonnes hypothèses sur la loi de déplacement, ce nombre convenablement renormalisé converge en loi vers la mesure du support d'une mesure aléatoire appelée ISE (integrated super brownian motion) qui est en fait la mesure image de l'intervalle [0,1] par le serpent brownien. On expliquera comment on obtient ces asymptotiques et on les comparera à leurs analogues dans le cas beaucoup plus simple de la marche aléatoire simple dans Z^d.
Le chaos multiplicatif gaussien est une théorie qui fut introduite initialement par J.P. Kahane en 1985 pour étudier la dissipation de l'énergie de fluides en régime turbulent et s'est étendue à divers domaines (gravité quantique de Liouville, matrices aléatoires, systèmes désordonnés, finance). Le but est de construire une mesure aléatoire donnée par l'exponentielle d'un "champ aléatoire" X. Dans les cas intéressants, X ne sera pas une fonction mais une distribution, par exemple le champ libre gaussien, ce qui impose d'utiliser certaines techniques de régularisation. On donnera les idées principales de la construction ainsi que quelques résultats importants.