- Classification des EDP et exemples
- Théorème de Cauchy-Lipschitz
- Séries et transformée de Fourier
- Distributions, solutions fondamentales
- Espaces de Sobolev, injections de Sobolev
- Espaces de Sobolev en domaine borné, théorème de Rellich, lemme d'Aubin-Lions
- Equations elliptiques : résolution par le théorème de La-Milgram ; régularité elliptique
- Equations paraboliques : résolution par la méthode de Galerkin
- Retour sur la classification des EDPs
- Deux équations prototypiques et leur origine
- Technique de résolution de ces équations
(séparation des variables, solutions fondamentales,
approximation numérique)
- Ecoulements fluides modélisés par des équations
elliptiques (dérivation des équations d'Euler,
écoulements irrotationels, écoulement autour d'un
cylindre infini)
- Ecoulements irrotationels et analyse complexe
- Ecoulements topologiques dans les domaines non-bornés
et contraintes topologiques
- Dérivation des équations de Navier-Stokes
- Exemple d'analyse dimensionnelle
- Limite de Stokes.
- Résolution d'équations d'ordre 1 par la méthode des caractéristiques (cas linéaire, semi-linéaire, quasi-linéaire, complètement non linéaire).
- Équations de transport : résolution pour des solutions régulières par la méthode des caractéristiques, dans un domaine à bords.
PARABOLIQUE :
- Couches limites contre une plaque en translation et contre
une plaque oscillante.
- Solution fondamentale pour l'éuation de la chaleur.
HYPERBOLIQUE :
- Équations hyperboliques et caractéristiques.
- Burgers et la formation de chocs.
- Méthode de Godunov et problèmes de Riemann.
- Résolution de l'équation des ondes linéaires dans S'(R x R^d)
- Propriétés qualitatives (vitesse finie de propagation, domaine de dépendance).
- Ondes sonores
- Ondes sur une surface libre
- Conditions aux limites, domaines ouverts et invariants de Riemann
- Paquet d'ondes et NLS
- Notion de solitons
- Déferlement et singularité. Bibliographie
- Equation de vorticité
- Filaments de vorticité
- Anneaux de vorticité
- Introduction aux noeuds/invariants topologiques/singularités
- Invariants pour Euler (Energie, Hélicité)
- Notions de Magnétohydrodynamique (MHD)
- Introduction historique
- Existence globale de solutions turbulentes (le théorème de Leray)
- Existence et unicité globale en dimension deux
- Résolution des équations de Navier-Stokes dans L3 (R3) (théorème de Kato)
- Equation de Ricatti, Lois de conservation EDO puis EDP, NLS quintique et concentration,
Navier-Stokes (évoqués : Tao 2015, Beale, Kato &
Majda 1984, Moffatt & Kimura 2019). Bibliographie
Force de Coriolis, Théorème de Proudman-Taylor,
couches limites d'Ekman, écoulements secondaires. Bibliographie