Enseignement

Plan du cours M1 ANALYSE RÉELLE 2008-2009


LUNDI 15 SEPTEMBRE

Espaces métriques complets

Suite de Cauchy, espace et sous-espace complet

Espaces métriques compacts.

Définition

Précompacité (début de la démonstration de l'équivalence compacité/complétude+précompacité)

LUNDI 22 SEPTEMBRE

Espaces métriques compacts (suite).

Précompacité (fin de la démonstration de l'équivalence compacité/complétude+précompacité)

Approximation d'un compact par une famille de précompacts

Exemples, cas de la dimension finie.

Espaces de Banach.

Définition et exemples

LUNDI 29 SEPTEMBRE

Espaces de Banach (suite).

Séries dans les espaces de Banach.

Compacité et espaces de Banach : théorème de Riesz ; cube de Hilbert.

LUNDI 6 OCTOBRE

Espaces de Banach (suite et fin).

Compacité et espaces de Banach : théorème d'Ascoli.

Espaces d'applications linéaires ; inversibilité d'applications linéaires sur un Banach.

LUNDI 13 OCTOBRE

Espaces L^p.

Rappels d'intégration.

Espaces L^p : inégalité de Jensen.

LUNDI 20 OCTOBRE

Espaces L^p (suite).

Inégalités de Hölder et Minkowski.

L^p comme espace de Banach.

Densité des fonctions en escalier à support compact.

LUNDI 27 OCTOBRE

Espaces L^p (suite et fin).

Densité des fonctions continues à support compact.

Séparabilité.

L'espace L^\infty.

Définition ; Banach ; non séparabilité.

LUNDI 3 NOVEMBRE

Convolution.

Définition pour les fonctions continues à support compact.

Inégalité de Young.

Définition pour des fonctions dans L^p.

Approximation de l'identité.

Densité des fonctions C^\infty à support compact dans L^p.

LUNDI 10 NOVEMBRE

Chapitre 3 : espaces de Hilbert.

Définition du produit scalaire ; définition des espaces pré-hilbertiens et hilbertiens.

Exemples.

Orthogonal d'un sous-ensemble.

Théorème de projection sur un convexe fermé.

LUNDI 17 NOVEMBRE

Partiel.

LUNDI 24 NOVEMBRE

Chapitre 3 : espaces de Hilbert (suite et fin).

Supplémentaire orthogonal.

Critère de totalité.

Bases hilbertiennes ; exemples.

Théorème de Bessel-Parseval.

Chapitre 4 : Séries de Fourier.

LUNDI 1 DECEMBRE

Chapitre 4 : Séries de Fourier (suite et fin).

Définitions.

Propriétés des coefficients de Fourier.

Lien entre régularité et décroissance des coefficients.

Chapitre 5. Transformée de Fourier.

Définitions.

Théorème de Riemann-Lebesgue.

LUNDI 8 DECEMBRE

Chapitre 5. Transformée de Fourier (suite et fin).

Propriétés principales (dérivation, convolution...)

Inversion de Fourier.

Exemple de résolution d'une EDP (équation des ondes).