Enseignement
Plan du cours M1 ANALYSE RÉELLE 2008-2009
LUNDI 15 SEPTEMBRE
Espaces métriques complets
Suite de Cauchy, espace et sous-espace complet
Espaces métriques compacts.
Définition
Précompacité (début de la démonstration de l'équivalence compacité/complétude+précompacité)
LUNDI 22 SEPTEMBRE
Espaces métriques compacts (suite).
Précompacité (fin de la démonstration de l'équivalence compacité/complétude+précompacité)
Approximation d'un compact par une famille de précompacts
Exemples, cas de la dimension finie.
Espaces de Banach.
Définition et exemples
LUNDI 29 SEPTEMBRE
Espaces de Banach (suite).
Séries dans les espaces de Banach.
Compacité et espaces de Banach : théorème de Riesz ; cube de Hilbert.
LUNDI 6 OCTOBRE
Espaces de Banach (suite et fin).
Compacité et espaces de Banach : théorème d'Ascoli.
Espaces d'applications linéaires ; inversibilité d'applications linéaires sur un Banach.
LUNDI 13 OCTOBRE
Espaces L^p.
Rappels d'intégration.
Espaces L^p : inégalité de Jensen.
LUNDI 20 OCTOBRE
Espaces L^p (suite).
Inégalités de Hölder et Minkowski.
L^p comme espace de Banach.
Densité des fonctions en escalier à support compact.
LUNDI 27 OCTOBRE
Espaces L^p (suite et fin).
Densité des fonctions continues à support compact.
Séparabilité.
L'espace L^\infty.
Définition ; Banach ; non séparabilité.
LUNDI 3 NOVEMBRE
Convolution.
Définition pour les fonctions continues à support compact.
Inégalité de Young.
Définition pour des fonctions dans L^p.
Approximation de l'identité.
Densité des fonctions C^\infty à support compact dans L^p.
LUNDI 10 NOVEMBRE
Chapitre 3 : espaces de Hilbert.
Définition du produit scalaire ; définition des espaces pré-hilbertiens et hilbertiens.
Exemples.
Orthogonal d'un sous-ensemble.
Théorème de projection sur un convexe fermé.
LUNDI 17 NOVEMBRE
Partiel.
LUNDI 24 NOVEMBRE
Chapitre 3 : espaces de Hilbert (suite et fin).
Supplémentaire orthogonal.
Critère de totalité.
Bases hilbertiennes ; exemples.
Théorème de Bessel-Parseval.
Chapitre 4 : Séries de Fourier.
LUNDI 1 DECEMBRE
Chapitre 4 : Séries de Fourier (suite et fin).
Définitions.
Propriétés des coefficients de Fourier.
Lien entre régularité et décroissance des coefficients.
Chapitre 5. Transformée de Fourier.
Définitions.
Théorème de Riemann-Lebesgue.
LUNDI 8 DECEMBRE
Chapitre 5. Transformée de Fourier (suite et fin).
Propriétés principales (dérivation, convolution...)
Inversion de Fourier.
Exemple de résolution d'une EDP (équation des ondes).