Pierre Gervais

Découvrir, c’est voir les mêmes éléments dans une autre configuration - Carl Friedrich Gauss (celui qui a calculé 1+2+...+n, pas l'autre)
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moi

Présentation et contact

Actuellement étudiant en doctorat sous la direction d'Isabelle Gallagher et Isabelle Tristani, je m'intéresse à des problèmes de limites hydrodynamique, et plus précisément à la dérivation des équations de Navier-Stokes à partir de celles de Boltzmann.

J'ai intégré la double licence Mathématiques-Informatique de l'Université Paris-Diderot en 2014, que j'ai validée et en 2017. J'ai ensuite intégré le master de Mathématiques fondamentales durant lequel j'ai produit deux mémoires : le premier sous la direction de David Gerard-Varet, et le second sous celle d'Isabelle Gallagher, puis obtenu le diplôme en 2019.

J'occupe le bureau C15 de l'espace Cartan à l'ENS de Paris - 45 rue d'Ulm, 75005, Paris.

Le sujet de ma thèse

L'équation de Boltzmann

L'équation de Boltzmann modélise l'évolution d'un gaz monoatomique, induite par les collisions élastiques que subissent les particules le composant, et sous l'hypothèse que celles-ci voyagent à vitesse constante entre deux collisions. En supposant de plus que les particules sont indépendantes, la probabilité de trouver une particule à l'intant \(t \in \mathbb{R}^+\), à la position \(x \in \Omega \subset \mathbb{R}^3\), et voyageant à vitesse \(v \in \mathbb{R}^3\) est donnée par la densité \(F(t, x, v)\), et celle-ci évolue selon l'équation de transport suivante : $$(\partial_t + v \cdot \nabla_x) F(t, x, v) = Q\big(F(t, x), F(t, x)\big)(v),$$ où le terme \(Q\big(F(t, x), F(t, x)\big)(v)\), représente, à \(t\) et \(x\) fixés, la variation de la quantité de particules se déplaçant à la vitesse \(v\).

L'opérateur \(Q\), dit de collisions, est défini comme $$Q(F, F)(v) := \int_{\mathbb{R}^3 \times \mathbb{S}^{2}} |v-v_*| (F' F'_* - F F_*) dv_* d\sigma,$$ où \(v'\) et \(v_*''\) sont les vitesses de deux particules avant collision, \(v\) et \(v_*\) après la collision (déterminées par leur déviation \(\sigma\) ainsi que la conservation de quantité de mouvement et d'énergie cinétique), et \( F'=F(v'), F_*=F(v_*), F_*'=F(v_*') \).

Quantités macroscopiques et équilibres

À \(t\) et \(x\) fixés, les densité de masse, de vitesse et de température \(R, U, T\) du gaz modélisé sont données respectivement par les moyennes suivantes : $$R(t, x) = \int F(t, x, v) dv,$$ $$(RU)(t, x) = \int v F(t, x, v) dv,$$ $$R(|U|^2+3T)(t, x) = \int |v|^2 F(t, x, v) dv.$$

Grâce au théorème H (seconde loi de la thermodynamique), on montre que les équilibres de l'équation sont les distributions (dites Maxwelliennes) de la forme $$\mathcal{M}(t, x, v) = \frac{R(t, x)}{(2\pi T(t, x))^{d/2}} \exp\left( - \frac{|v-U(t, x)|^2}{2 T(t, x)} \right),$$ où \(R\), \(U\) et \(T\) satisfont certaines équations traduisant la conservation de la masse, de l'énergie et de la quantité de mouvement. Autrement dit, les équilibres représentent des gaz dont la répartition statistique en vitesse suit une loi normale paramétrées par ses grandeurs macroscopiques.

Lien avec les équations hydrodynamiques

En choisissant une échelle, l'équation de Boltzmann se réécrit sous une forme adimensionnée faisant apparaître certaines quantités caractéristiques du fluide modélisé. En particulier, en prescrivant deux de ces grandeurs ; le nombre de Knudsen (caractérisant le temps moyen entre deux collisions) ainsi que le nombre de Mach (caractérisant sa compressibilité), comme égales à un petit paramètre noté \(\epsilon\), l'équation devient $$\epsilon \partial_t F^\epsilon + v \cdot \nabla_x F^\epsilon = \frac{1}{\epsilon} Q(F^\epsilon, F^\epsilon).$$ Lorsque \(\epsilon \to 0\), on s'attend à obtenir la dynamique d'un fluide (car le nombre de collisions est grand) incompressible (car le nombre de Mach est petit).

On considère plutôt ici un gaz proche de l'équilibre thermodynamique, dont la témpérature, la vitesse et la densité sont respectivement proches de \(1\), \(0\) et \(1\). Ce gaz est alors modelisé par une solution \(F^\epsilon\) proche de la Maxwellienne centrée réduite \(M\). Si on considère que les fluctuation de \(F^\epsilon\) autour de \(M\) sont de l'ordre de \(\epsilon\), c'est-à-dire \(F^\epsilon \approx M + \epsilon f\), alors les quantités macroscopiques associées fluctueront de la même façon : $$R^\epsilon \approx 1 + \epsilon \rho,$$ $$U^\epsilon \approx 0 + \epsilon u,$$ $$T^\epsilon \approx 1 + \epsilon \theta,$$ et \(\rho, u, \theta\) seront solutions du système d'équations de Navier-Stokes-Fourier incompressible : $$ \begin{cases} \partial_t u + u \cdot \nabla u - \nu \Delta u = -\nabla p,\\ \partial_t \theta + u \cdot \nabla \theta - \kappa \Delta \theta = 0,\\ \nabla \cdot u = 0,\\ \nabla (\rho + \theta) = 0. \end{cases} $$

Pour prouver que les fluctuations de \(F^\epsilon\) autour de \(M\) sont de l'ordre de \(\epsilon\), on peut considérer l'équation satisfaite par \(f^\epsilon\) définie par \(F^\epsilon =: M + \epsilon f^\epsilon\) : $$\epsilon \partial_t f^\epsilon + v \cdot \nabla_x f^\epsilon = \frac{1}{\epsilon} L f^\epsilon + Q(f^\epsilon, f^\epsilon),$$ où \(L\) est le linéarisé de \(Q\) en \(M\). À présent, l'enjeu est de montrer la convergence de \(f^\epsilon\). Pour cela, on peut soit prouver des estimations uniformes en \(\epsilon\) pour obtenir une compacité faible et donc des solutions faibles de Navier-Stokes-Fourier, ou bien, pour obtenir des solutions fortes, appliquer une méthode de point fixe à la forme intégrale de cette équation : $$f^\epsilon(t) = U^\epsilon(t) f_{in} + \frac{1}{\epsilon} \int_0^t U^\epsilon(t-t') Q(f^\epsilon(t-t'), f^\epsilon(t-t')) dt',$$ où \(U^\epsilon\) est le semigroupe généré par \(\frac{1}{\epsilon^2} (L + v \cdot \epsilon \nabla_x) \). Il s'agit dans ce cas d'étudier le spectre de ce dernier pour en déduire le comportement de son semigroupe lorsque \(\epsilon \to 0\).

Pourquoi est-ce intéressant ?

D'un point vue théorique, cela montre que les différentes équations régissant un même phénomène, établies de façons «indépendantes», sont en fait cohérentes les unes avec les autres (dans le sens où on peut déduire les unes des autres).

D'un point de vue numérique, en estimant, pour une même donnée initiale, la distance entre la solution de Navier-Stokes et la solution de Boltzmann, on peut choisir de résoudre numériquement l'équation de notre choix en étant conscient de l'erreur commise.