Pierre Gervais

L’analyse mathématique est une symphonie cohérente de l’infini - David Hilbert
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moi

Présentation et contact

Actuellement étudiant en doctorat sous la direction d'Isabelle Gallagher et Isabelle Tristani, je m'intéresse à des problèmes de limites hydrodynamique, et plus précisément à la dérivation des équations de Navier-Stokes à partir de celles de Boltzmann.

J'ai intégré la double licence Mathématiques-Informatique de l'Université Paris-Diderot en 2014, que j'ai validée et en 2017. J'ai ensuite intégré le master de Mathématiques fondamentales durant lequel j'ai produit deux mémoires : le premier sous la direction de David Gerard-Varet, et le second sous celle d'Isabelle Gallagher, puis obtenu le diplôme en 2019.

J'occupe le bureau C15 de l'espace Cartan à l'ENS de Paris - 45 rue d'Ulm, 75005, Paris.

Le sujet de ma thèse

L'équation de Boltzmann

L'équation de Boltzmann modélise l'évolution d'un gaz monoatomique raréifié, induite par les collisions élastiques que subissent les particules le composant, et sous l'hypothèse que celles-ci voyagent à vitesse constante entre deux collisions. En supposant de plus que les particules sont indépendantes, la probabilité de trouver une particule à l'intant \(t \in \mathbb{R}^+\), à la position \(x \in \Omega \subset \mathbb{R}^3\), et voyageant à vitesse \(v \in \mathbb{R}^3\) est donnée par la densité \(F(t, x, v)\), et celle-ci évolue selon l'équation de transport suivante : $$(\partial_t + v \cdot \nabla_x) F_t(x, v) = Q\big(F_t(x, \cdot), F_t(x, \cdot)\big)(v),$$ où le terme \(Q\big(F_t(x, \cdot), F_t(x, \cdot)\big)(v)\), représente, à \(t\) et \(x\) fixés, la variation de la quantité de particules se déplaçant à la vitesse \(v\). Celui-ci s'exprime

L'opérateur \(Q\), dit de collisions, est défini comme $$Q(F, F)(v) := \int_{\mathbb{R}^3 \times \mathbb{S}^{2}} B(|v-v_*|, \sigma) (F' F'_* - F F_*) dv_* d\sigma,$$ où \(v'\) et \(v_*'\) sont les vitesses de deux particules avant collision, \(v\) et \(v_*\) après la collision (déterminées par leur déviation \(\sigma\) ainsi que la conservation de quantité de mouvement et d'énergie cinétique), et \( F'=F(v'), F_*=F(v_*), F_*'=F(v_*') \).

Quantités macroscopiques et équilibres

À \(t\) et \(x\) fixés, les densité de masse, de vitesse et de température \(R, U, T\) du gaz modélisé sont données respectivement par les moyennes suivantes : $$R_t(x) = \int F_t(x, v) dv,$$ $$R_t(x)U_t(x) = \int v F_t(x, v) dv,$$ $$\frac{1}{2} R_t(x)|U_t(x)|^2 + \frac{3}{2} R_t(x) T_t(x) = \int \frac{|v|^2}{2} F_t(x, v) dv.$$ N.B.: la troisième identité signifie que l'énergie du fluide, à savoir la somme de son énergie cinétique \(\frac{1}{2} R_t(x)|U_t(x)|^2\) et de son énergie thermique \(\frac{3}{2} R_t(x) T_t(x)\), est donnée par la somme des énergies cinétiques de chacune des particules le constituant.

Grâce au théorème H (seconde loi de la thermodynamique), on montre que les équilibres de l'équation sont les distributions (dites Maxwelliennes) de la forme $$\mathcal{M}_t(x, v) = \frac{R_t(x)}{(2\pi T_t(x))^{d/2}} \exp\left( - \frac{|v-U_t(x)|^2}{2 T_t(x)} \right),$$ où \(R\), \(U\) et \(T\) satisfont certaines équations traduisant la conservation de la masse, de l'énergie et de la quantité de mouvement. Autrement dit, les équilibres représentent des gaz dont la répartition statistique en vitesse suit une loi normale paramétrées par ses grandeurs macroscopiques.

Lien avec les équations hydrodynamiques

En réécrivant l'équation de Boltzmann dans des variables macroscopique, certaines quantités caractéristiques du fluide apparaissent. En particulier, en prescrivant deux de ces grandeurs ; le nombre de Knudsen (caractérisant le temps moyen entre deux collisions) ainsi que le nombre de Mach (caractérisant sa compressibilité), comme égales à un petit paramètre noté \(\epsilon\), l'équation devient $$\epsilon \partial_t F^\epsilon + v \cdot \nabla_x F^\epsilon = \frac{1}{\epsilon} Q(F^\epsilon, F^\epsilon).$$ Lorsque \(\epsilon \ll 1\), on s'attend à obtenir la dynamique d'un fluide (car le nombre de collisions est grand) incompressible (car le nombre de Mach est petit).

On considère plutôt ici un gaz proche de l'équilibre thermodynamique, dont la témpérature, la vitesse et la densité sont respectivement proches de \(1\), \(0\) et \(1\). Ce gaz est alors modelisé par une solution \(F^\epsilon\) proche de la Maxwellienne centrée réduite \(M\). Si on considère que les fluctuation de \(F^\epsilon\) autour de \(M\) sont de l'ordre de \(\epsilon\), c'est-à-dire \(F^\epsilon \approx M + \epsilon f\), alors les quantités macroscopiques associées fluctueront de la même façon : $$R^\epsilon \approx 1 + \epsilon \rho,$$ $$U^\epsilon \approx 0 + \epsilon u,$$ $$T^\epsilon \approx 1 + \epsilon \theta,$$ et \(\rho, u, \theta\) seront solutions du système d'équations de Navier-Stokes-Fourier incompressible (théorème prouvé par Claude Bardos, François Golse et David Levermore) : $$ \begin{cases} \partial_t u + u \cdot \nabla u - \nu \Delta u = -\nabla p,\\ \partial_t \theta + u \cdot \nabla \theta - \kappa \Delta \theta = 0,\\ \nabla \cdot u = 0,\\ \nabla (\rho + \theta) = 0. \end{cases} $$

Pour prouver que les fluctuations de \(F^\epsilon\) autour de \(M\) sont de l'ordre de \(\epsilon\), on peut considérer l'équation satisfaite par \(f^\epsilon\) définie par \(F^\epsilon =: M + \epsilon f^\epsilon\) : $$\epsilon \partial_t f^\epsilon + v \cdot \nabla_x f^\epsilon = \frac{1}{\epsilon} L f^\epsilon + Q(f^\epsilon, f^\epsilon),$$ où \(L\) est le linéarisé de \(Q\) en \(M\). À présent, l'enjeu est de montrer la convergence de \(f^\epsilon\). Pour cela, on peut soit prouver des estimations uniformes en \(\epsilon\) pour obtenir une compacité faible et donc des solutions faibles de Navier-Stokes-Fourier, ou bien, pour obtenir des solutions fortes, appliquer une méthode de point fixe à la forme intégrale de cette équation : $$f^\epsilon(t) = U^\epsilon(t) f_{in} + \frac{1}{\epsilon} \int_0^t U^\epsilon(t-t') Q(f^\epsilon(t-t'), f^\epsilon(t-t')) dt',$$ où \(U^\epsilon\) est le semigroupe généré par \(\frac{1}{\epsilon^2} (L + v \cdot \epsilon \nabla_x) \). Il s'agit dans ce cas d'étudier le spectre de ce dernier pour en déduire le comportement de son semigroupe lorsque \(\epsilon \to 0\). C'est l'objet de l'article historique de Richard Ellis et Mark Pinsky, The first and second fluid approximations to the linearized Boltzmann equation, paru en 1975, que j'ai partiellement généralisé dans mon premier article, et qui fut publié dans la revue Kinetic and Related Models. Je tente actuellement de me rapprocher de l'espace optimal dans lequel choisir la donnée initiale \(f_{\text{in}}\).

Pourquoi est-ce intéressant ?

D'un point vue théorique, cela montre que les différentes équations régissant un même phénomène, établies de façons «indépendantes», sont en fait cohérentes les unes avec les autres (dans le sens où on peut déduire les unes des autres, ce qui s'inscrit dans le sixième problème de Hilbert).

D'un point plus partique, cela signifie que l'on peut, en fonction du contexte physique (en termes physiques, du régime), estimer la distance entre la solution de Navier-Stokes et la solution de Boltzmann, et donc choisir de considérer une équation ou l'autre en étant conscient de l'erreur d'approximation commise.